Módulo plano no proyectivo y no generado infinitamente, sobre un anillo polinómico

Question

Dejemos que $R=k[x_1,\ldots,x_n]$ . Según la primera respuesta todo módulo plano finitamente generado sobre un dominio integral es necesariamente proyectivo.

Por lo tanto, la única esperanza de encontrar un plano no proyectivo $R$ -Módulo $M$ es cuando $M$ no está generado finitamente. ¿Puede alguien sugerir tales módulos?

En realidad, aquí hay algunos ejemplos de módulos planos no proyectivos (pero no sobre un anillo polinómico), y la siguiente afirmación general, debida a Bass: Los módulos planos son proyectivos si el anillo es perfecto .

(Se puede encontrar una pregunta algo relevante aquí ).

EDITAR: He publicado aquí mi último comentario como una pregunta, que ya tiene respuesta.

Answer 1

Dejemos que $R$ sea un dominio integral que no sea un campo. Entonces $R$ contiene un elemento no nulo que no es invertible. Para cada elemento no nulo $r$ que no es invertible, $r$ no es un múltiplo de $r^2$ Si lo fuera, entonces $r=r^2s$ para algunos $s\in R$ . Desde $R$ es un dominio integral, $1=rs$ , contradiciendo que $r$ no es invertible.

Ahora, para $I$ cualquier ideal no nulo en $R$ , si $I$ es igual a $R$ entonces $I$ sólo es divisible por elementos invertibles de $R$ . Por hipótesis, existe un elemento no nulo y no invertible $q$ de $R$ y $I$ no es divisible por $q$ . Por otro lado, si $I$ no es igual a $R$ entonces $I$ contiene un elemento no nulo $r$ que no es invertible. Así, $r$ no es divisible por $q=r^2$ . Desde $r$ no es divisible por $q$ También $I$ no es divisible por $q$ . Así, para cada ideal no nulo $I$ en $R$ existe un elemento no nulo y no invertible $q$ de $R$ tal que $I$ no es divisible por $q$ .

Por último, para cualquier $R$ -Módulo $M$ , digamos que libre sobre una base $S$ para cada elemento no nulo $m$ de $M$ El ideal es $I$ generada por el número finito de ceros $S$ -coeficientes de $m$ es distinto de cero. Por lo tanto, existe un elemento no nulo $q$ de $R$ tal que $I$ no es divisible por $q$ . Por lo tanto, también $m$ no es divisible por $q$ . Por lo tanto, también, para cada uno de los valores no nulos $R$ -submódulo $P$ de $M$ para cada elemento no nulo $m$ de $P$ existe una solución no nula y no invertible $q$ en $R$ tal que $m$ no es divisible por $q$ . En particular, si $P$ es un sumando directo de $M$ entonces $P$ no es divisible.

Así, todo divisible $R$ -no es proyectivo. En particular, el campo de fracciones de $R$ es divisible. Por lo tanto, el campo de fracciones de $R$ es un piso $R$ -que no es proyectiva.