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Una integral por el Año Nuevo

He construido esta integral con el propósito de presentar una pregunta que me parece interesante y agradable para los lectores de MSE para el Nuevo Año 2016 y esperando para ver los diferentes métodos de solución. Puedo confirmar que este ha sido el caso por la bienvenida que se le ha dado y los dos motivado respuestas que han tenido.

Calcular:

320162016(532016x532016x+5x2016)dx

50voto

Tim Almond Puntos 1887

Definir I:=3kk(3kx)1/5dx(3kx)1/5+(xk)1/5,k:=2016. La sustitución de x=k(1+2sin2t) da I=π/204k\sentcos7/5tdtsin2/5t+cos2/5t=π/404k\sentcostdt1+\bronceado2/5t+π/2π/44ksin3/5tcos7/5tdt1+cot2/5t. The replacement tπ2t en la segunda integral da I=π/404k\sentcostdt1+\bronceado2/5t+π/204ksin7/5tcos3/5tdt1+\bronceado2/5t=π/404k\sentcostdt. Por lo tanto I=π/402ksin2tdt=[kcos2t]π/40=k.

30voto

Harish Chandra Rajpoot Puntos 19636

Vamos, I=320162016532016x532016x+5x2016 dx Ahora, usando la propiedad de la integral definida: baf(x) dx=baf(a+bx) dx, que se debe hacer I=320162016532016(42016x)532016(42016x)+5(42016x)2016 dx I=3201620165x20165x2016+532016x dx I=3201620165x2016532016x+5x2016 dx Ahora, la suma de (1) y (2), se debe obtener I+I=320162016(532016x532016x+5x2016+5x2016532016x+5x2016) dx 2I=320162016532016x+5x2016532016x+5x2016 dx I=12320162016 dx=12(320162016) =2016

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