Una integral por el Año Nuevo

Question

He construido esta integral con el propósito de presentar una pregunta que me parece interesante y agradable para los lectores de MSE para el Nuevo Año 2016 y esperando para ver los diferentes métodos de solución. Puedo confirmar que este ha sido el caso por la bienvenida que se le ha dado y los dos motivado respuestas que han tenido.

Calcular:

$$\int_{2016}^{3\cdot 2016}\left(\frac{\sqrt[5]{3\cdot 2016-x} }{\sqrt[5]{3\cdot 2016-x}+\sqrt[5]{x-2016}}\right)dx$$

Answer 1

Definir $$I:=\int_{k}^{3k}\frac{\left(3k-x\right)^{1/5}dx}{\left(3k-x\right)^{1/5}+\left(x-k\right)^{1/5}},\,k:=2016.$$ La sustitución de $x=k\left(1+2\sin^{2}t\right)$ da $$I = \int_{0}^{\pi/2}\frac{4k\sen t\cos^{7/5}t\,dt}{\sin^{2/5}t+\cos^{2/5}t} = \int_{0}^{\pi/4}\frac{4k\sen t\cos t\,dt}{1+\bronceado^{2/5}t}+\int_{\pi/4}^{\pi/2}\frac{4k\sin^{3/5}t\cos^{7/5}t\,dt}{1+\cot^{2/5}t}.$$ The replacement $t\mapsto \frac{\pi}{2}-t$ en la segunda integral da $$I= \int_{0}^{\pi/4}\frac{4k\sen t\cos t\,dt}{1+\bronceado^{2/5}t}+\int_{0}^{\pi/2}\frac{4k\sin^{7/5}t\cos^{3/5}t\,dt}{1+\bronceado^{2/5}t} = \int_{0}^{\pi/4}4k\sen t\cos t\,dt.$$ Por lo tanto $$I = \int_{0}^{\pi/4}2k\sin2t\,dt = \left[-k\cos2t\right]_{0}^{\pi/4}=k.$$

Answer 2

Vamos, $$I=\int_{2016}^{3\cdot 2016}\frac{\sqrt[5]{3\cdot 2016-x}}{\sqrt[5]{3\cdot 2016-x}+\sqrt[5]{x- 2016}}\ dx\tag 1$$ Ahora, usando la propiedad de la integral definida: $\int_a^bf(x)\ dx=\int_{a}^bf(a+b-x)\ dx$, que se debe hacer $$I=\int_{2016}^{3\cdot 2016}\frac{\sqrt[5]{3\cdot 2016-(4\cdot2016 -x)}}{\sqrt[5]{3\cdot 2016-(4\cdot2016 -x)}+\sqrt[5]{(4\cdot2016 -x)- 2016}}\ dx$$ $$I=\int_{2016}^{3\cdot 2016}\frac{\sqrt[5]{x-2016}}{\sqrt[5]{x-2016}+\sqrt[5]{3\cdot2016 -x}}\ dx$$ $$I=\int_{2016}^{3\cdot 2016}\frac{\sqrt[5]{x-2016}}{\sqrt[5]{3\cdot2016 -x}+\sqrt[5]{x-2016}}\ dx\tag 2$$ Ahora, la suma de (1) y (2), se debe obtener $$I+I=\int_{2016}^{3\cdot 2016}\left(\frac{\sqrt[5]{3\cdot 2016-x}}{\sqrt[5]{3\cdot 2016-x}+\sqrt[5]{x- 2016}}+\frac{\sqrt[5]{x-2016}}{\sqrt[5]{3\cdot2016 -x}+\sqrt[5]{x-2016}}\right)\ dx$$ $$2I=\int_{2016}^{3\cdot 2016}\frac{\sqrt[5]{3\cdot2016 -x}+\sqrt[5]{x-2016}}{\sqrt[5]{3\cdot2016 -x}+\sqrt[5]{x-2016}}\ dx$$ $$I=\frac12\int_{2016}^{3\cdot 2016}\ dx$$$$=\frac12(3\cdot 2016-2016)$$ $$=\color{red}{2016}$$