¿Mejor sustitución cálculo integral?

Question

Yo estoy calculando $$\iint\limits_S \, \left(\frac{1-\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}}{1+\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}} \right)^\frac{1}{2} \, dA$$ with $%$ $S =\left{ (x, \, y) \in \mathbb{R}^2 : \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1\right}.$

Tomo $$x = ar\cos \theta$ $$$ y= br\sin \theta y la integral se convierte en $$ ab\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1\, \left(\frac{1-r^2}{1+r^2} \right)^\frac{1}{2} r \, dr ¿cuál es la mejor sustitución a calcular la integral interior? He probado con $r= \sin \vartheta$, me dijo una mina amigo $u=1+r^2$. Gracias por cualquier ayuda ideas y sugerencias.

Answer 1

Sub-$u = r^2$, entonces el $u=\cos{\theta}$. Si usted hacer las cosas bien, se obtiene la integral siguiente

$$2 \int_0^{\pi/2} d\theta \, \sin^2{\frac{\theta}{2}}$$

que me imagino se puede hacer.

Answer 2

Una forma de hacerlo es sustituir $u^2 = 1 + r^2$, que $2u \, du = 2r\, dr$, $r\, dr = u\, du$

$\int_0^1 \sqrt{\frac{1-r^2}{1+r^2}}\,r\,dr = \int_0^1 \sqrt{\frac{2-(1+r^2)}{1+r^2}}\,r\,dr\ = \int_1^\sqrt{2} \sqrt{\frac{2-u^2}{u^2}}\,u\,du = \int_1^\sqrt{2} \sqrt{2-u ^ 2} \ , du$$

Ahora sustituye $u = \sqrt{2} \sin \phi$