¿Cómo calcular $e^A$?

Question

Que $\omega>0$. Entonces cómo calcular la matriz de $e^A$, donde $$A =\begin{bmatrix} 0 & \omega \ -\omega & 0 \end{bmatrix}. $$ estoy emocionado de ver matrix como potencias. No sé cómo es posible poder pero cualquier manera parece bueno para aprender. ¿Cómo computarlo?

Answer 1

Tomar la definición:

$$exp(A)=I+A+A^2/2!+A^3/3!+\cdots$$

y el grupo de pares e impares términos:

$$exp(A)=(I+A^2/2!+A^4/4!+\cdots) + (A/1!+A^3/3!+A^5/5!+ \cdots)$$

Utilizando el hecho de que $A^2=-\omega^2I$,

$$exp(A)=(I-w^2I/2!+w^4I/4!-\cdots)+(I-\omega^2I/3!+\omega^4I/5!+\cdots)A$$

$$exp(A)=(1-w^2/2!+w^4/4!-\cdots)I+(1-\omega^2/3!+\omega^4/5!+\cdots)A$$

$$exp(A)=\cos(\omega)I+\dfrac{\sin{\omega}}{\omega}A$$

Pero hay otra importante manera de escribir:

$$exp(A)=\pmatrix{\cos(\omega)&\sin(\omega)\\ -\sin(\omega)&\cos(\omega)}$$

cual es la rotación con un ángulo de $-\omega$.

Es un clásico (y profunda) resultado de que la exponencial de una matriz antisimétrica es una matriz ortogonal. Tiene un pequeño vistazo a (http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.35.3205) que nos recuerda lo que existe en la dimensión 2 y 3 (importante fórmula de Rodrigues) y, a continuación, considera que los cálculos de las dimensiones superiores.

Answer 2

$e^A$ no es realmente un poder, sino más bien el mapa exponencial. No hay tal cosa como "la multiplicación de $e$ sí $A$ veces" al $A$ es una matriz. En su lugar, es una notación abreviada para $$ I + A + \frac{A^2}2 + \frac{a^3}{6} + \frac{A^4}{24} + \cdots + \frac{A^n}{n!} + \cdots $$ Con el fin de calcular de manera eficiente, le sugiero que trate de encontrar la forma general de la $A^n$, y a partir de ahí, la forma general de cada componente por separado de $e^A$, teniendo en cuenta la potencia de la serie de la definición de $\sin$ $\cos$

Answer 3

Como se mencionó en la respuesta por @Arthur, la definición de $e^A$ es el poder de la serie $$e^A:=\sum_{n\ge0}\frac{1}{n!}A^n,$$ donde $A^0=I$. Ahora un poco de matrices (la suya, por ejemplo) que uno puede tratar de encontrar algunas regularidades en la secuencia de $A,A^2,A^3,...$ y trabajar desde allí. Sin embargo, para matrices de tamaño razonable, se puede proceder de la siguiente manera:

1. Si $A$ es diagonalizable, escribe como $A=PDP^{-1}$ para una matriz diagonal $D$. Otra cosa (un poco más), encontrar su forma normal de Jordan $A = PJP^{-1}$.
2. Es fácil de calcular, $D^n$ (respectivamente, $J^n$), y por lo tanto $$A^n = (PDP^{-1})^n = PD^nP^{-1},$$ de modo que uno puede encontrar fácilmente $e^A$. En particular, para una matriz diagonal $D$ tenemos que $e^D$ está dado por la matriz diagonal con los exponencial de las entradas de $D$ elementos, haciendo cosas muy simples.

Por supuesto, todo el trabajo duro aquí es diagonalize $A$ (resp. tomar en su forma normal de Jordan). Para matrices grandes, a menudo algunos métodos probabilísticos se utilizan para aproximar soluciones. Es muy interesante (y muy activo) campo de investigación, pero no sé mucho acerca de él.

Answer 4

La ecuación característica de la matriz $A$ es $t^2+\omega^2=0$ para $t=\pm \omega i$ valores propios. En la búsqueda de vectores propios $\begin{pmatrix}1\i\\end{pmatrix}$ $\begin{pmatrix}i\1\\end{pmatrix}$, construir la matriz modal $P =\begin{pmatrix}1&i\i&1\\end{pmatrix}$ y obtener $P^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-i\-i&1\\end{pmatrix}$.

Utilizando $A=PDP^{-1}\implies e^A=Pe^DP^{-1}$

$\implies e^A=\begin{pmatrix}1&i\i&1\\end{pmatrix}\begin{pmatrix}e^{\omega i}&0\0&e^{-\omega i}\\end{pmatrix}\frac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-i\-i&1\\end{pmatrix}$.

$\implies e^A=\begin{pmatrix}cos(\omega)&sin(\omega)\-sin(\omega)&cos(\omega)\\end{pmatrix}$