Dejemos que $r_i, i=1,\ldots,m$ sean variables aleatorias con $P(r_i=1)=P(r_i=-1)=1/2$ dejar $b_i, i=1,\ldots,m$ sean números reales. Debería calcular $E\left(|\sum_{i=1}^m b_ir_i|^4| \sum_{i=1}^m r_i=0\right)$ utilizando la siguiente pista:
Dejemos que $$X=\left\{r\in\{1, -1\}^m \quad | \quad r_i= \begin{cases} 1,&\quad \text{if} \quad i \quad\text{is in }Y\\[4mm] -1,&\quad \text{if}\quad i \quad\text{is not in }Y \end{cases} \right\},$$ donde $Y\subset\{1,\ldots,m\}, \operatorname{card}(Y)=m/2$ .
Para $X$ ponemos en correspondencia el grupo $\Pi_m$ de todas las permutaciones del conjunto $\{1,\ldots,m\}$ como sigue $$ \pi(\cdot)\longleftrightarrow r_i= \begin{cases} 1,&\quad \text{if} \quad \pi(i)\leq \frac m2\\[4mm] -1,&\quad \text{if} \quad \pi(i)>\frac m2 \end{cases}. $$
En el grupo $\Pi_m$ Considero la medida de recuento normalizada $\mu_m(A)=\operatorname{card}(A)/m!$ para $A\subset \Pi_m$ y la métrica normalizada $d_m(\pi_1, \pi_2)=\frac 1m \#\{i:\pi_1(i)\neq \pi_2(i), \quad \pi_1, \pi_2 \in \Pi_m\}$ .
Se sabe que $\Pi_m$ es una familia normal de Levy y para $A_\epsilon=\{\pi\quad| \exists \pi'\in A: d_m(\pi, \pi')\leq \epsilon\}$ tenemos $$ \inf_{\mu_m(A)\geq 1/2}\mu_m(A_\epsilon)\geq 1-2\exp(-c\epsilon^2m), \quad \text{$ c>0 $ is a constant}. $$ Se sabe que en una familia de Levy tenemos el fenómeno de la concentración de la medida alrededor de un valor de una función. Así, si $f:\Pi_m\longrightarrow R$ es una función con módulo de continuidad $\omega_f(\epsilon)=\sup_{d_m(\pi_1, \pi_2)}|f(\pi_1)-f(\pi_2)|$ y con la mediana $M_f$ entonces $$ \mu\left(|f-M_f|\leq \omega_f(\epsilon)\right)\geq 2\inf_{\mu_m(A)\geq 1/2}\mu_m(A_\epsilon)-1. $$
Pero ahora estoy confundido con el siguiente paso. ¿Qué puedo decir sobre la expectativa que necesito encontrar?
Gracias por su ayuda.
