¿Hace $A\!\leq\!M$ y $B\!\leq\!N$ $A\!\otimes_R\!B\hookrightarrow M\!\otimes_R\!N$ implican? (producto del tensor de módulos)

Question

Que $R$ ser un anillo comutativo unital. Cuál sería un ejemplo de un $R$-módulos $M,N$ % submódulos $A,B$, que no existe una inclusión de $R$-módulos $$A!\otimes_R!B\hookrightarrow M!\otimes_R!N.$ $

He probado con finitamente generados $\mathbb{Z}$ módulos, buscando $M$ y $N$ $M!\otimes!N \cong 0$, pero luego cada vez $A!\otimes!B \cong 0$ sucede también en mis intentos.

Answer 1

Tomar $A=M=\mathbb{Z}/2$ y $B=\mathbb{Z}$ y $N=\mathbb{Q}.$ entonces $A \otimes B \cong \mathbb{Z}/2$ $M \otimes N \cong 0.$

Answer 2

Sugerencia: Trate de $A=\mathbb{Z}$, $B=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=N$ y $M=\mathbb{Q}$.