¿Es cierto que cada monic polinomio $p(x) \in \mathbb{Z}[x]$ $p(0)\neq 0$, de grado $n>0$ allí existe un número real $M>0$ tal que para cada $|m|>M$ y para cada entero impar de $k$ ($0<k como="" contra="" ejemplos="" enteros="" es="" hay="" incluso="" irreducible="" los="" n="" si="" sobre=""></k>
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El polinomio $p(x)=(x^2+1)^3$ es un contraejemplo. Esto es debido a que $$ p(x)-n^3x^3=(x^2+1-nx)[(x^2+1)^2+nx(x^2+1)+n^2x^2] $$ no es irreducible como una diferencia de dos cubos, y podemos hacer $n^3$ tan grande como se desee.
Una variante es muy similar a la familia $$ (x^2+ax+1)(x^4-ax^3+a^2x^2-ax+1)=x^6+x^4+(a^3-2a)x^3+x^2+1, $$ donde sólo el cúbicos plazo depende del parámetro $a$. Por opciones apropiadas de $a$ el coeficiente de que cúbicos plazo puede hacerse arbitrariamente grande.
OTOH está claro que todos los polinomios cúbicos $p(x)$ tienen esta propiedad. Un monic polinomio cúbico en $\Bbb{Z}[x]$ falla al ser irreductible sólo cuando se tiene un número entero de la raíz. La raíz racional de la prueba implica que sólo hay un número finito de opciones para que la raíz. Así que si se corrige el término cuadrático, el polinomio puede ser reducible sólo para un número finito de opciones del término lineal.
En otras palabras, pienso que puede ser aún más interesante pregunta al acecho debajo de este. No sé la mejor manera de reformularlas. Pero, por ejemplo, yo no producen este tipo de familia de sextic polinomios que un factor como un producto de dos cúbicas de un número infinito de opciones del coeficiente indeterminado.
