Sobre una conjetura de que $P_n^{\,2}+5^2+2^k=(P_n-1)^2+l^2$ .

Question

Estaba mirando números perfectos y me encontré con algo que puede servir un poco interesante.

Denota por $P_n$ el $n^\text{th}$ número perfecto, entonces parece que siempre existe $k\in\mathbb{W}$ y $l\in\mathbb{Z}$ tal que

$$P_n^{\,2}+5^2+2^k=(P_n-1)^2+l^2.\tag{$ |Conjetura $}$$

para lo cual $\mathbb{W}:= \mathbb{N}\cup\big\{0\big\}=\big\{0,1,2,3,\ldots\bigr\}$ id est, el números enteros .

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Esto es lo que he descubierto hasta ahora, dado que $(6,28,496)=(P_1,P_2,P_3)$ respectivamente:

$$\begin{align}6^2+5^2+2^6&=5^2+10^2 \\ 28^2+5^2+2^0&=27^2+9^2 \tag*{$\begin{pmatrix}(k,l)\,\,\,=&(6,10)&\text{resp.}\\ (k,l)\,\,\,=&(0,9)&\text{resp.} \\ (k,l)\,\,\,=&(3,32)&\text{resp.}\end{pmatrix}$}\\ 496^2+5^2+2^3&=495^2+32^2.\end{align}$$ Esto es todo lo que he probado. Sé que para cada número perfecto $P_n$ existe un número primo $p$ tal que $P_n=2^{p-1}(2^p-1)$ hasta ahora (o al menos, para cada incluso número perfecto), pero esto no me ayuda a demostrar la conjetura. También se conjetura que todo número perfecto es la suma de tres cubos, pero suponer que esto es válido no me ayuda a demostrar este conjeturas tampoco.

Además, escribir la ecuación como la siguiente no ayuda tampoco. $$2^k+(P_n+l)(P_n-l)=(P_n+4)(P_n+6).$$

¿Se puede comprobar si mi conjetura se sostiene o no?

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Gracias de antemano.

Answer 1

Tuviste mala suerte al dejar de hacer las pruebas donde lo hiciste.

Tenga en cuenta que $$ P^2+5^2+2^k=(P-1)^2 +l^2$$ equivale a $$\tag1P^2-(P-1)^2=2P-1 =l^2-5^2-2^k $$ Ahora dejemos que $P$ sea un número par perfecto, $P=2^{p-1}(2^p-1)$ . Después de tratar manualmente los casos pequeños, podemos suponer $p>5$ .

Si $k=0$ , ecuación $(1)$ se convierte en $$ 2^{p}(2^p-1)=(l+5)(l-5)$$ donde $l$ debe ser impar y exactamente uno de los factores de la derecha es un múltiplo de $4$ . Así que $l\pm5 = 2^{p-1}u$ y $l\mp5=2v$ con $uv=2^p-1$ . Como la diferencia de los factores es $\pm10$ concluimos que $2^{p-2}u-v=\pm5$ . Si $u=1$ Esto lleva a $$\pm5=2^{p-2}-(2^p-1)=1-3\cdot 2^{p-2}<-5\qquad\text{contradiction}.$$ Y $u\ge 3$ lleva a $$\pm5 \ge 3\cdot2^{p-2}-\frac 13(2^p-1)>(3-\tfrac43)2^{p-2}\ge \frac 53\cdot 32\qquad\text{contradiction}.$$ Concluimos que $k\ge 1$ . Entonces $(1)$ nos dice que $l$ debe ser par. Entonces $2^k=l^2-24-2^p(2^p-1)$ es un múltiplo de $4$ Por lo tanto $k\ge 2$ . Entonces $$\tag22^{k-2}=(l/2)^2-6-2^{p-2}(2^p-1).$$ Si $l/2$ es impar, el lado derecho de $(2)$ es $\equiv 3\pmod 8$ mientras que el lado izquierdo es $\equiv 1$ , $2$ o $0\pmod 4$ . Por lo tanto, $l/2$ es par, por lo que el lado derecho de $(2)$ es $\equiv 2\pmod 4$ . Concluimos $k=3$ y $l=4m$ para algunos $m$ . Así que ahora $(2)$ se convierte en $$ 2^{p-4}(2^p-1)+2=m^2.$$ Para $p>5$ la izquierda sigue siendo par, pero no es un múltiplo de $4$ por lo que no puede ser un cuadrado perfecto.