Ayuda con la regla de L'Hospital para $\lim_{x \to 0}\frac{5x^2}{\ln(\sec x)}$

Question

Utilice la regla de L'Hospital para evaluar $\lim_{x \to 0}\dfrac{5x^2}{\ln(\sec x)}$

Sé que la regla de L'hospital consiste en diferenciar una y otra vez hasta que deje de tener una forma indeterminada.

Mi intento:

$\dfrac{5x^2}{\ln(\sec x)}=\dfrac{1}{\ln(\sec x)}5x^2$

$y=\dfrac{1}{\ln(\sec x)},\;\;\;$ tomar el logaritmo natural de ambos lados antes de diferenciar:

$\ln y=\ln \left ( \dfrac{1}{\ln(\sec x)}\right ),\;\;\; \implies \ln y=\ln 1-\ln(\ln(\sec x)),\;\;\;$ ahora se diferencian:

$\dfrac{y^{\prime}}{y}= 0 - ...$

No sé cómo proceder. ¿Puede mostrarlo, por favor? Sé que $\ln(\ln(\sec x))$ usará la regla de la cadena, pero no sé cómo trabajarla... Gracias.

Answer 1

Dado que $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}, \space f'(x) \space g'(x)$ existe; la regla de L'Hospitals dice que $$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$ $$\lim_{x\to0}\frac{5x^2}{\ln(\sec x)}$$

$$f'(x) = 10x$$

$$g'(x)=\ln (\sec x)=\frac{1}{\sec x}\cdot \sec x \tan x = \frac{\sec x\tan x}{\sec x}=\tan x$$

$$\therefore \lim_{x\to0}\frac{5x^2}{\ln(\sec x)}=\lim_{x\to0}\frac{10x}{\tan x}$$ Usando de nuevo la regla de L'Hospital..

$$\lim_{x\to0}\frac{10x}{\tan x}=\lim_{x\to0}\frac{10}{\sec ^2x}=\frac{10}{1}=10$$ Desde $$\sec^2x=\frac{1}{\cos^2 x}=\frac{1}{(\cos 0)^2}=\frac{1}{1}=1$$

Answer 2

Está claro que no entiendes la regla de L'Hopsital con claridad.

Si $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}g(x)=0$ y $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}$ existe, entonces $$ \lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

Ahora su $f(x)=5x^2$ y $g(x)=\ln(\sec(x))$ . Y ahora puedes proceder desde aquí. Definición de $y=1/\ln(\sec(x))$ no te lleva a la dirección correcta.

Answer 3

$$\begin{align} \dfrac{5x^2}{\ln (\sec x)} &\to \dfrac{10x}{\frac{\tan x \sec x}{\sec x}} \to\dfrac{10}{\sec^2 x}\\ \longrightarrow \lim_{x \to 0}\dfrac{5x^2}{\ln (\sec x)} &\equiv \lim_{x \to 0} \dfrac{10}{\sec^2 x}=\frac{10}{1}=10\\ \end{align}$$

Answer 4

Si $y = \log(\sec x)$ entonces por la regla de la cadena: $$y' = \frac{1}{1/\cos x}\left(\frac{1}{\cos x}\right)' = \tan x$$

Answer 5

Sin la regla de L'Hospital, pero con las series de Maclaurin (si se le permite utilizarlas): ampliar $\log x \sim x-1$ cuando $x \to 1$ (en su caso es $\sec x \to 1$ ) y $\cos x \sim 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}$ como $x \to 0$ , por lo que se obtiene $$\lim_{x \to 0} \frac{5x^2}{\frac{1}{1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}}-1}=\lim_{x \to 0}\frac{5(24-12 x^2+x^4)}{12-x^2}=10 $$