Si todos los centralizadores son finitos, ¿se deduce que el grupo es finito?

Question

Por lo que he oído, los centralizadores desempeñan un papel importante en la teoría de los grupos. Mi pregunta surge de la curiosidad y del deseo de entender cuánto control tienen los centralizadores sobre el grupo. Aquí vamos:

Si $G$ es un grupo tal que el centralizador de cada elemento (excepto la identidad) de $G$ es finito, entonces es $G$ ¿es necesariamente un grupo finito?

Si la respuesta es "No", entonces dicho grupo infinito será fuertemente no abeliano (intuitivamente). Bueno, por un lado, $Z(G)=1$ . Además, como cada elemento conmuta con sus propias potencias, parece que cada elemento tendría que tener un orden finito. Así que mi pregunta parece ser una versión más fuerte de este .

Agradezco cualquier indicación :)

Answer 1

Como mencionó Tobías, Monstruos de Tarski son infinitas $p$ -grupos $G$ tal que todo subgrupo propio tiene orden $p$ . Si $1\neq x,y \in G$ , $\langle x \rangle \neq \langle y \rangle$ y $C_G(x)$ es infinito, entonces $C_G(x) = G$ contiene $y$ Así que $\langle x, y \rangle$ tiene orden $p^2$ una contradicción. Por lo tanto, $C_G(x) = \langle x \rangle$ para cada elemento no identitario de $G$ .

Los centralizadores controlan gran parte de la estructura del grupo, pero hacen un trabajo mucho mejor cuando hay subgrupos abelianos elementales de rango suficiente. En ese caso, se obtiene un bonito sistema de centralizadores parcialmente superpuestos, y se puede ver más del grupo. Cuando no hay abelios no cíclicos $p$ -subgrupos, entonces entran en juego diferentes métodos que suelen basarse en algún tipo de recuento, ya que un grupo finito con centralizadores minúsculos tiene que armarse con mucho cuidado. Los grupos infinitos consiguen hacer trampa en cierto modo, ya que pueden permanecer un $p$ -grupo sin tener un centro no identitario.

Como ejemplo de finito: Un grupo finito en el que cada centralizador de un elemento no identitario tiene orden primo es necesariamente un grupo no abeliano de orden $pq$ para los primos $p<q$ con $p$ dividiendo $q-1$ . Existe un único grupo de este tipo hasta el isomorfismo para cada par de primos, y todos los grupos de este tipo tienen la propiedad del centralizador.