Cadena ascendente - teoremas de isomorfismo

Question

Así que lo que hice hasta ahora :

Resultados interesantes :

1. $f$ es inyectiva $\iff$ $\ker f = \{0\}$
2. $\ker f$ es un submódulo de $X$
3. Como $X$ es noetherian, a continuación, cada uno ascendente de la cadena de $M_1 \subset M_2 \subset \dots$ tiene la propiedad de que existe $k \in \mathbb{N}$ tal que $M_k = M_{k+1}= M_{k+2}= \dots$

Así, en la consideración de los resultados, supongamos que $f$ no es inyectiva. El objetivo es construir un ascendente de la cadena no tiene la propiedad de $3$.

Deje $M_1= \ker f$. Luego tenemos a $M_1 \subset X \subset Y$. De acuerdo con el primer teorema de isomorfismo $X/M_1 \cong f(X)=Y$. Además, tengo la intuición de que podíamos usar el teorema de la correspondencia, es decir, tenemos que los submódulos de $X$ contiene $M_1$ están en correspondencia con los submódulos de $X/M_1$ ($K \subset K'$donde $K, K' \supset N_1 \iff K'/M_1 \subset K / M_1$).

Me gustaría continuar con la construcción de esta cadena, pero estoy bloqueado. Es que alguien me pudiera dar una pista de cómo podría continuar este problema? Creo que debo tener en cuenta a la composición de la función de $f$ con sí mismo, pero no está claro.

Gracias!

P. S. por Favor, no me dan más que una buena pista a seguir.

Answer 1

$\require{AMSmath}$ Usted está en el camino correcto en su deseo de considerar la composición de $f$ con sí mismo.

Sabiendo $f: X\to Y$ es surjective, considere la posibilidad de $f^{-1}(X) \subset X$. Observe que ker$(f) \subset f^{-1}(X)$. La aplicación de $f$ ($X$ en la imagen de la primera aplicación de la $f$) da un mapa de $f^{-1}(X)$. $$X \xrightarrow{f} Y\supset X\xrightarrow{f}Y$$

La parte importante: el núcleo de este nuevo mapa contiene el núcleo de $f$. Para construir un ascendente de la cadena, nos tomamos un similar la aplicación repetida de $f$:

$$X \xrightarrow{f} Y\supset X\xrightarrow{f}Y\supset X\xrightarrow{f}Y\supset X\xrightarrow{f}...$$

Componer, estos en conjunto, se obtiene una serie de funciones $f$, $f^2$, $f^3$... desde el primer $X$ en la secuencia, y podemos demostrar que los granos de forma ascendente en la cadena de $X$. El núcleo de la segunda aplicación de $f$, por ejemplo, contiene el 0 elemento en $Y$, y la preimagen de un elemento que es exactamente ker$(f)$. Sabemos que $f$ no puede ser inyectiva en todas estas aplicaciones, por lo que ker$(f^n)\subset $ ker$(f^{n+1})$ $\forall n\ge 1$. En consecuencia, tenemos el ascendente de la cadena de ker$(f)\subset$ ker$(f^2)\subset$ ker$(f^3)$...