Resolviendo

Question

¿Cómo resolver esta ecuación:

$$ 2\arcsin\frac{x}{2}+\arcsin(x\sqrt{2})=\frac{\pi}{2} $$

Sabemos que:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$$

Por lo tanto, dejar $\alpha = 2\arcsin\frac{x}{2}$ $\beta=\arcsin(x\sqrt{2})$ conduce a: $\sin\frac{\alpha}{2} = \frac{x}{2}$$\sin\beta = x\sqrt{2}$. Búsqueda de $\sin\alpha$ $\cos\alpha$ primer:

$$\begin{align} \cos \frac{\alpha}{2} & = \frac{\sqrt{(4-x^2)}}{2} \\ \sin\alpha & = \sin\left(\frac{\alpha}{2} + \frac{\alpha}{2}\right) = 2\cos\frac{\alpha}{2}\sin\frac{\alpha}{2}\\ & = \frac{x\sqrt{(4-x^2)}}{2} \\ \cos \alpha & = \frac{\sqrt{(4 - (x\sqrt{(4-x^2)})^2)}}{2} = \frac{\sqrt{(4 - x^2(4-x^2))}}{2} \end{align}$$

Y ahora $\cos\beta$:

$$\begin{align} \sin \beta & = x\sqrt2 \\ \cos \beta & = \sqrt{1 - 2x^2} \end{align}$$

Conectar todo junto:

$$ 1 = \frac{x\sqrt{(4-x^2)} \times \sqrt{1 - 2x^2}}{2} + \frac{\sqrt{(4 - x^2(4-x^2))} \times x\sqrt2}{2} \\ 2 = x\sqrt{4-9x^2+2x^4} + x\sqrt{8-8x^2+2x^4} \\ 4 = x^2(4-9x^2+2x^4) + x^2(8-8x^2+2x^4) \\ 0 = 4x^4 -17x^3 + 12x^2 - 4 $$

Lo que es incorrecto - la respuesta correcta es $\sqrt{6-4\sqrt2}$. ¿De dónde me salen mal?

Answer 1

Que $\arcsin\dfrac x2=y\implies x=2\sin y$

Así tenemos, $$\arcsin(\sqrt2\cdot2\sin y)=\dfrac\pi2-2y$ $

Aplicación de seno a ambos lados, $$\sin\left[\arcsin(\sqrt2\cdot2\sin y)\right]=\sin\left(\dfrac\pi2-2y\right)=\cos2y$ $

$$\implies\sqrt2\cdot2\sin y=1-2\sin^2y$$

Reorganizan para formar una ecuación cuadrática en $\sin y$

Compruebe si los valores de $x(=2\sin y)$ satisfacen la ecuación dada

Observe que $x>0$ $-\dfrac\pi2