Demostrar que $(C^1[0,1], \|\cdot\|)$ no es un espacio de Banach

Question

Dado el espacio normado $C^1[0,1]$ de funciones diferenciables con derivadas continuas en $[0,1]$ . La norma se define como $$\|x\| = \max_{[0,1]} |x(t)|$$ Me gustaría demostrar que el espacio normado dado no es un espacio de Banach.

En el intento de resolver este problema, he pensado en la posibilidad de construir una secuencia de Cauchy en el espacio que no converge en el espacio. Sin embargo hasta ahora no he tenido ninguna idea. Luego he procedido a pensar en construir una norma equivalente a la dada en la que se pueda demostrar fácilmente que el espacio no es un espacio de Banach. Sin embargo, tampoco he conseguido nada.

Ahora estoy atascado sin una pista. Por favor, dame una pista para una dirección correcta.
Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Toma $\sqrt{x+1/n}$ que es $C^1[0,1]$ para cada $n$ gracias a nuestro desplazamiento de la discontinuidad en la derivada.

Para ver que esto converge uniformemente, observe que $\sqrt{x}$ es uniformemente continua en conjuntos compactos. Por ejemplo $[0,2]$ podemos utilizar la continuidad uniforme para afrontar cualquier reto de epsilon con un $N$ no depende de $x$ con $$ |\sqrt{x+1/N}-\sqrt{x}|<\epsilon $$

Answer 2

La idea es encontrar una secuencia de funciones $\{f_n\}$ que sí converge en el espacio $C^0$ de funciones continuas con la norma máxima pero cuyo límite no es diferenciable. Por ejemplo, $$f_n(x) = \left\{\begin{matrix} \left|x - \frac{1}{2}\right| &\text{if } \left|x - \frac{1}{2}\right|\ge\frac{1}{n} \\ \frac{1}{2n}+\frac{n}{2}\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 & \text{if }\left|x - \frac{1}{2}\right|<\frac{1}{n}\end{matrix}\right. $$ converge en $C^0$ bajo la norma máxima a $f(x) = \left|x-\frac{1}{2}\right|$ (de hecho $\max|f-f_n| = \frac{1}{2n}$ ), y por tanto es Cauchy bajo la norma máxima en $C^1$ Sin embargo, si convergen en $C^1$ su límite tendría que ser igual a $f$ en $C^0$ , lo cual es imposible.