Mirando el Primer conteo de funciones en la Wikipedia, sólo he encontrado fórmulas con ningún indicio sobre cómo la gente llegó allí. Así, para entender mejor, me he decidido a crear uno desde cero, a partir de un ingenuo tipo de Tamices de Eratóstenes. Aquí es lo que he encontrado hasta ahora: $$ \text{Vamos a } k = \left\lfloor\frac {x - 1} {6} \right\rfloor \text{ y una función } p1(x) \text {: } $$ $$ p1(x)=k-\sum _{i=1}^{6i^2-2i\leqslant k} \left( \left\lfloor \frac{k+i}{6i-1}\right\rfloor -i+1 \right) - \sum _{i=1}^{6i^2+2i\leqslant k} \left( \left\lfloor \frac{k-i}{6i+1}\right\rfloor -i+1 \right) + \sum _{i=0}^{i\leqslant \frac{k-29}{25}} \left( \left\lfloor \frac{k+5i+6}{30i+35}\right\rfloor -1 \right) + \sum _{i=0}^{i\leqslant \frac{k-29}{35}} \left\lfloor \frac{k-5i-4}{30i+25}\right\rfloor + \sum _{i=0}^{i\leqslant \frac{k-64}{35}} \left( \left\lfloor \frac{k+7i+13}{42i+77}\right\rfloor -1 \right) + \sum _{i=0}^{i\leqslant \frac{k-57}{49}} \left( \left\lfloor \frac{k-7i-8}{42i+49}\right\rfloor -1 \right) $$ $$ \text{y vamos a } k=\left\lfloor \frac{x+1}{6}\right\rfloor \text{ y una función } p2(x) \text{tales que}: $$ $$ p2(x)=k-\sum _{i=1}^{i\leqslant \frac{k+1}{7}} \left\lfloor \frac{k-i}{6i-1}\right\rfloor + \sum _{i=0}^{i\leqslant \frac{k-21}{25}} \left( \left\lfloor \frac{k+5i+4}{30i+25}\right\rfloor -1 \right) + \sum _{i=0}^{i\leqslant \frac{k-41}{35}} \left\lfloor \frac{k-5i-6}{30i+35}\right\rfloor + \sum _{i=0}^{i\leqslant \frac{k-41}{35}} \left( \left\lfloor \frac{k+7i+8}{42i+49}\right\rfloor -1 \right) $$ $$ \text{para cualquier } x\leqslant 874, \text {:} $$ $$ 2+p1(x)+p2(x)= \pi (x) $$ Aunque el resultado parece complicado, este es sólo muy simples sumas y programación de un algoritmo que coincide con ella es realmente sencillo. Aquí, por ejemplo, es el correspondiente código de Mathematica:
Manipulate[
Module[{panel, p1, p2, pcount},
p1[x_] :=
Module[{k, i, sum, sum1, sum2, sum3, sum4, sum5, sum6},
k = Floor[(x - 1)/6];
sum1 = (i = 1; sum = 0;
While[6*i^2 - 2*i <= k, sum += Floor[(k + i)/(6*i - 1)] - i + 1;
i++]; sum);
sum2 = (i = 1; sum = 0;
While[6*i^2 + 2*i <= k, sum += Floor[(k - i)/(6*i + 1)] - i + 1;
i++]; sum);
sum3 = (i = 0; sum = 0;
While[i <= (k - 29)/25,
sum += Floor[(k + 5*i + 6)/(30*i + 35)] - 1; i++]; sum);
sum4 = (i = 0; sum = 0;
While[i <= (k - 29)/35, sum += Floor[(k - 5*i - 4)/(30*i + 25)];
i++]; sum);
sum5 = (i = 0; sum = 0;
While[i <= (k - 64)/35,
sum += Floor[(k + 7*i + 13)/(42*i + 77)] - 1; i++]; sum);
sum6 = (i = 0; sum = 0;
While[i <= (k - 57)/49,
sum += Floor[(k - 7*i - 8)/(42*i + 49)] - 1; i++]; sum);
k - sum1 - sum2 + sum3 + sum4 + sum5 + sum6
];
p2[x_] :=
Module[{km, i, sum, sum1, sum2, sum3, sum4, sum5, sum6},
km = Floor[(x + 1)/6];
sum1 = (i = 1; sum = 0;
While[i <= (km + 1)/7, sum += Floor[(km - i)/(6*i - 1)]; i++];
sum);
sum2 = (i = 0; sum = 0;
While[i <= (km - 21)/25,
sum += Floor[(km + 5*i + 4)/(30*i + 25)] - 1; i++]; sum);
sum3 = (i = 0; sum = 0;
While[i <= (km - 41)/35,
sum += Floor[(km - 5*i - 6)/(30*i + 35)]; i++]; sum);
sum4 = (i = 0; sum = 0;
While[i <= (km - 41)/35,
sum += Floor[(km + 7*i + 8)/(42*i + 49)] - 1; i++]; sum);
km - sum1 + sum2 + sum3 + sum4
];
pcount[x_] := 2 + p1[x] + p2[x];
panel =
Panel@Column[{
Grid[{
{"x", x}, {"\[Pi](x)", PrimePi[x]}, {"pcount(x)", pcount[x]}
}, Alignment -> {Left, Top}, Frame -> All]
}];
panel
]
, {{x, 301}, 1, 1500, 1, Appearance -> "Open"}
]
He encontrado muy interesante el hecho de que usted no tiene que confiar en la tabla de los números Primos ni necesidad de prueba de la división.
Aunque el rango de $x\leqslant 874$ (de hecho, también funciona para el rango de $1001\leqslant x\leqslant 1224$) es muy pequeña, creo que la fórmula puede ser extendido a cualquier rango mediante la adición de cantidades necesarias, pero después se hace difícil evitar duplicados cuenta.
EDIT1: algunas personas incomprendido "por la adición de cantidades necesarias". Me refiero en el hecho de que yo estoy bastante seguro de que $p1(x)$ $p2(x)$ válido para cualquier $x$ puede ser escrita en la forma de un único doble de la suma de $k$ (i.e: $pn(x)=\sum \sum f(k)$ ).
Yo no encuentro nada en la red sobre este o el mismo tipo de fórmula. ¿Alguien sabe algo al respecto?
