En $ \sum^{\infty}_{3} \frac{n^2}{(ln(ln(n)))^{ln(n)}} $ ¿converger?

Question

En $ \sum^{\infty}_{3} \frac{n^2}{(ln(ln(n)))^{ln(n)}} $ ¿converger?

Mi sensación inicial es que no, debido al gradiente decreciente de $ln(x)$ por lo que esperaría que los términos individuales 'no tiendan a 0 lo suficientemente rápido'.

He probado unas cuantas pruebas de convergencia comunes pero no he dado con la conclusión:

La prueba de la proporción muestra que los términos individuales tienden a algo que podría ser uno (que no he podido evaluar adecuadamente) por lo que no parece concluyente.

La prueba integral no parece generar una solución fácil ya que no veo cómo integrar dicha función o compararla con otra.

Mis únicas ideas son alguna solución elemental usando la prueba de comparación o quizás la prueba de condensación de Cauchy pero no veo cómo ayuda exactamente.

Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

$(\ln ( \ln n ) )^{\ln n} = e^{ \ln n \ln (\ln (\ln n))} = n^{\ln(\ln(\ln n))}$ .

Así, el sumando es $n^{2-\ln(\ln(\ln n))}$ . Existe un $N$ tal que $2 - \ln \ln \ln n < -1.1$ para todos $n \geq N$ . A continuación, comparamos la suma con los términos $n \geq N$ a $\sum_{n \geq N} \frac{1}{n^{1.1}}$ para ver que converge (ya que este último es un convergente $p$ -serie. La primera $N$ términos obviamente no afectan a la convergencia.

Answer 2

Utilizando el Prueba de condensación de Cauchy obtenemos $$ \sum_{n=3}^\infty\frac{n^2}{(\log(\log(n)))^{\log(n)}}\tag{1} $$ converge si $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{2^n2^{2n}}{(\log(n\log(2)))^{\,n\log(2)}}\tag{2} $$ converge.

Para $n\ge31467207758$ tenemos $(\log(n\log(2)))^{\log(2)}\ge9$ Por lo tanto, $$ \sum_{n=31467207758}^\infty\frac{2^n2^{2n}}{(\log(n\log(2)))^{\,n\log(2)}}\le\sum_{n=31467207758}^\infty\left(\frac89\right)^n\tag{3} $$ Así, $(2)$ converge y por lo tanto, $(1)$ converge.