Pregunta rápida:
Me preguntaron si existe una matriz inversible $P$ sobre el complejo números tal que cualquier matriz $A$:
$PAP^{-1} = A^{T}$
No sé cómo probarlo, pero no creo que esto es cierto. Sé que cada matriz es similair a su transposición, pero no puede ser el mismo % de matriz $P$para todas las matrices... Así que mi presentimiento me dice que no, pero ¿cómo lo demuestro?
(promovido a partir de un comentario)
Esta solución fue esencialmente dada por el autor de la pregunta a sí mismo en un comentario a la pregunta.
En primer lugar observamos que para $1\times 1$ matrices de cualquier invertible $P$ trivialmente obras.
A continuación, supongamos que un mágico $P$ también existían en general. Entonces para cualquier matrices $A$$B$,
$$AB=P^{−1}A^TPP^{−1}B^TP=P^{−1}A^TB^TP=P^{−1}(BA)^TP=BA$$
donde en la primera se utilizó ese $P$ funciona para $A$$B$, y en la última igualdad hemos utilizado ese $P$ trabaja para $BA$.
Para el 1×1 matrices esto no es una contradicción, pero para matrices de mayor tamaño de la multiplicación no es conmutativa.
Como dije en los comentarios, esta solución parece funcionar.
Asumir que hay un % tan mágico $P$así que para cualquier matriz $A$: $PAP^{-1}=A^{T}$
también podemos escribir como: $PA=A^{T}P$ (simplemente multiplicar por $P$ en el lado derecho).
Ahora veamos $PABP^{-1}=(AB)^{T}=B^{T}A^{T}$.
$PABP^{-1}=A^{T}PBP^{-1} = A^{T}B^{T}$
Puesto que la multiplicación de matrices no es conmutativa, $A^{T}B^{T}=B^{T}A^{T}$ no tiene para todas las matrices. contradicción.
En primer lugar, si vamos a $A=P,$, a continuación, puede ver que $P$ es simétrica. Que significa que tiene una base ortogonal de vectores propios $e_1, \dots, e_n.$ Deje $A$ ser una matriz en la cual se envía a $e_1$ a $e_2,$ $e_2$ a $e_3,$ etc ($e_n$ puede ir a $0.$) Lo que pasa a tu matrices $P^{-1} A P$ $A^t$ cuando se aplica a la base?
EDITAR Como @julien señala, este argumento funciona bien si el suelo es de campo de los reales O lugar de transponer utilizamos el hermitian adjoint (conjugada transpuesta). El argumento en sí no trabajo más de $\mathbb{C}$ como se indica.
También puede resultar, si $PSP^{-1}=S$ % de matrices simétricas todas $S$, entonces el $P$ debe ser un múltiplo escalar de la $I$ de la matriz identidad y por lo tanto $PAP^{-1}\equiv A$ para cualquier (simétricas o no) % matriz $A$. Desde $A\ne A^T$ en general, la respuesta a su pregunta es negativa cuando $n\ge2$.
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