Estoy leyendo el anillo de la teoría de Álgebra Abstracta por Dummit & Foote y, actualmente, en el capítulo Único de la Factorización de Dominio. En este libro en la Página no: 290 autores afirman lo siguiente (en el 3er párrafo):
"De ello se sigue, por lo que acabamos de ver que $~p$ factores$~\mathbb{Z}[i]$ a, precisamente, dos irreducibles si y sólo si $p=a^2+b^2$ es la suma de dos enteros plazas (de lo contrario $p$ permanece irreductible en $\mathbb{Z}[i])$ "
Sé que esta afirmación es, básicamente, dibujado sobre la base de los dos párrafos anteriores. Pero en realidad, esos párrafos no está totalmente claro para mí.
Lo que yo entiendo es:
- En el 1er párrafo de la Página:290) los autores demostraron que "Los elementos principales en el ring $\mathscr{O}=\mathbb{Z}[\sqrt D]$ (para cualquier entero $D$ que no es cuadrado perfecto) son factores de algunos de los mejores número de $\mathbb{Z}$ (esto significa que los factores de los números primos de $\mathbb{Z}$ en el anillo más grande $\mathscr{O})$."
- Para esto, PRIMERO se demostró (en el párrafo 1 P-290) Si tomamos cualquier prime $\pi \in \mathscr{O}$ $<\pi>$ es un alojamiento ideal y está claro que $~<\pi> \cap \mathbb{Z}$ es un alojamiento ideal en $\mathbb{Z}$, y, por tanto,$~<\pi> \cap \mathbb{Z}=<p>$, para algunos el primer número $p\in \mathbb{Z}$. En consecuencia, $\pi$ es un divisor de a$p$$\mathscr{O}$.
- y en Segundo lugar se demostró (en el párrafo 1 P-290), que si $\pi \in \mathscr{O}$ es un elemento irreductible y $\pi$ es un factor de algunos de los números primos $p$$\mathbb{Z}$. es decir, $p=\pi \pi'$$\mathscr{O}$. A continuación, se puede demostrar (como lo han demostrado) cualquiera de las $p$ permanece irreductible en $\mathbb{Z}[i]$ (al $\pi'$ se convierte en una unidad ) o $p$ es precisamente el producto de dos irreductible en $\mathbb{Z}[i]$.
Pero no puedo entender cómo estos resultado de la declaración sobre la $\mathbb{Z}[i]$ como un caso especial...(que mencioné al principio).
Por favor, ayudar. Gracias.
