Problema de valor mínimo

Question

<blockquote> <p>Encontrar el valor mínimo de $(x+y)(y+z)$ $x,y,z$ Dónde está los números reales positivos satisfaciendo la condición $$xyz(x+y+z)=1$ $</p> </blockquote> <p>¿Sugerencia?</p>

Answer 1

Solo se aplica AM-GM.

$(x+y)(y+z)=xy+y^2+xz+yz=y(x+y+z)+zx=\frac y{xyz}+zx=zx+\frac1{zx}\geq 2$

La igualdad se mantiene si y sólo si $zx=1$.

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Sustitución de $xz=1$, tenemos la condición de que $y(x+y+\frac{1}{x}) = 1$. Como tal, $(x+y)(y+ \frac{1}{x}) = xy + \frac{y}{x} + y^2 + 1 = 1 + 1 = 2 $.

Answer 2

si usted hace la transformación a nuevas variables $u,v,w$ con $$ u = y+z \\ v = z + x \\ w = x + y $$ entonces $$ u + v + w = 2(x+y+z) = 2s $$ y $$ x = s - u\\ y = s - v\\ z = s - w $$

de modo que $s$ es el semi-perímetro de un triángulo con lados de $u,v,w$ y el área del triángulo:

$$ A = \sqrt{s(s-u)(s-v)(s-w)} = 1 $$ y el problema es minimizar el producto de dos lados de un triángulo con el área del triángulo limitado a ser $1$

supongamos $u$ no es menor que cualquiera de los otros dos lados. a continuación, el producto mínimo de dos lados en este caso debe ser $vw$.

si, en $\mathbb{R}^2$ nos vamos a la base del triángulo ser el intervalo de $[-\frac{u}2,\frac{u}2]$ luego de satisfacer la restricción en la zona de el tercer vértice debe quedar en cualquiera de las líneas de $Y=\pm \frac2{u}$

una bastante sencillo argumento muestra que el valor mínimo del producto $vw$ se produce cuando el triángulo es isósceles, por lo tanto (Pitágoras)

$$ v=w=\sqrt ( \left(\frac{u}2\right)^2 + \left(\frac2{u}\right)^2) $$ desde entonces, el mínimo de la expresión dentro de la surd es el valor 2, que ocurre cuando u=2, tenemos, como los lados del triángulo en una configuración mínima, $2, \sqrt{2}, \sqrt{2}$, y el mínimo valor del producto que se requiere es $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$

Answer 3

Definir el % de la función auxiliar $F(x,y,z,\lambda) = (x+y)(y+z) + \lambda(1-xyz(x+y+z))$y optimizar las derivadas parciales y ajuste a cero.

Pero, ¿por qué podemos hacerlo?

Aplica este método de multiplicadores de Lagrange, desde el nivel del conjunto, que es la restricción, es en el espacio tangente de la pendiente. Así podemos establecer esta función, ya podemos hacer la afirmación de $f(x,y,z) = (x+y)(y+z)$ $g(x,y,z) = xyz(x+y+z)$, $\nabla f$ es paralelo a $\nabla g$. Es decir, $\exists \lambda$ tal que $\nabla f + \lambda \nabla g = 0$.