Con el fin de obtener un algoritmo para resolver el cuarto grado polynoms, tenemos que mostrar cómo el grupo $S_4$ es solucionable, y luego usar esa información para obtener el algoritmo.
Si $G$ es el subgrupo de $S_4$ fijación $\beta_1$, $G = \langle (12),(34),(13)(24) \rangle$
Tenemos la resolución normal
$G_0=\{id \} \subset G_1 = \langle (12) \rangle \subset G_2 = \langle (12)(34) \rangle \subset G_3 = \langle (12),(34),(13)(24) \rangle \subset G_4 = S_4$
donde $G_1/G_0$ , $G_2/G_1$ y $G_3/G_2$ son cíclicos de orden $2$, e $G_4/G_3$ es cíclico de orden $3$ (verifique esto con la mano).
Por el teorema fundamental de la teoría de Galois hemos campos de $K_i = \Bbb C(X_1,X_2,X_3,X_4)^{G_i}$ donde $K_{i+1} \subset K_i$ es una extensión normal con grupo de Galois $G_{i+1}/G_i$, y donde no hay intermedios campos entre dos consecutivas $K_i$.
Esta es una muy fuerte teorema : por ejemplo, si usted encuentra algún elemento $x_i \in K_i \setminus K_{i+1}$, entonces usted sabe (porque no hay intermedio de campo) que $K_i = K_{i+1}(x_i)$ : por lo que para cada expresión polinómica que se fija por $G_i$, se puede expresar como un polinomio de expresión en términos de $x_i$, y los polinomios invariantes por $G_{i+1}$.
El método para la solución de la cuártica hace un uso extensivo de este :
En primer lugar tenemos que elegir algún elemento $x_i \in K_i$ tal que $K_i = K_{i+1}(x_i)$.
Desde que tomé $G_3$ a ser el grupo de elementos de fijación $(X_1+X_2)(X_3+X_4)$, $K_3 = K_4((X_1+X_2)(X_3+X_4))$. Para los demás no es difícil encontrar cualquier elemento de $K_i \setminus K_{i+1}$, solo tienes que elegir uno.
Si llamamos a $p,q,r,s$ la primaria simétrica polinomios (es decir,$(X-X_1)(X-X_2)(X-X_3)(X-X_4) = X^4-pX^3+qX^2-rX+s$),$K_i = \Bbb C(p,q,r,s,x_3,x_2, \ldots, x_i)$, por lo que necesitaremos un algoritmo para expresar cualquier expresión polinómica que es invariante por $G_i$ y convertirlo en un polinomio en $p,q,r,s,x_j$$j \ge i$. (para hacer esto usted siempre puede utilizar la fuerza bruta y de álgebra lineal. Usted sabe que dicha expresión ha de existir tan sólo tienes que buscar una lo suficientemente grande como indeterminado polinomio de modo que el sistema lineal resultante es solucionable)
A continuación, podemos calcular el polinomio mínimo de cada una de las $x_i$$K_{i+1}$, que simplemente es $\prod_{\sigma \in G_{i+1}/G_i} (T - \sigma(x_i))$. Cuando desarrollamos este, los coeficientes son invariantes por $G_{i+1}$, por lo que utilizamos el algoritmo anterior para expresar sus coeficientes en el plazo de $p,q,r,s,x_j$$j > i$.
Así que en este punto, usted tiene "explícito" (pero muy complejo) polinomios diciendo lo $x_3$ es una raíz de un polinomio cúbico en términos de $p,q,r,s$ ; $x_2$ es una raíz de un polinomio cuadrático en términos de $p,q,r,s,x_3$ ; $x_1$ es una raíz de un polinomio cuadrático en términos de $p,q,r,s,x_2,x_3$ $x_0$ es una raíz de un polinomio cuadrático en términos de $p,q,r,s,x_1,x_2,x_3$. Y por último, las cuatro raíces $X_1,X_2,X_3,X_4$ son expresiones polinómicas en términos de $p,q,r,s,x_0,x_1,x_2,x_3$.
En realidad, podemos hacerlo mejor, porque hasta ahora no sabemos aún lo $n$ root tenemos que tomar de la oms, y también es una idea estúpida para resolver por $x_3$ como le haría para cualquier otro cúbicos. El hecho de que cada cociente grupo cíclico de orden $n_i$ significa que de cada $x_i$ puede ser obtenida a partir de a $K_{i+1}$ colindando algunos $n_i$th raíz de un elemento en $K_{i+1}$ :
Si $\sigma_i$ es un generador de $G_{i+1}/G_i = Gal(K_i / K_{i+1}) = \Bbb Z/n_i \Bbb Z$, entonces si dejamos $y_i = \sum_{0 \le j < n_i} \sigma_i^j(x_i)\zeta_{n_i}^{-j} \in K_i$,$\sigma_i(y_i) = \zeta_n y_i$, y por lo $\sigma_i(y_i^{n_i}) = \zeta_{n_i}^{n_i} y_i^{n_i} = y_i^{n_i}$, por lo tanto $y_i^{n_i} \in K_{i+1}$. Si $y_i$ es distinto de cero, entonces tenemos $\sigma(y_i) \neq y_i$$K_i = K_{i+1}(y_i)$.
En lugar de calcular la resolvant de la $x_i$ y tratando de expresar las cosas en términos de la $x_i$, se debe utilizar $y_i$ en lugar de $x_i$ en todas partes, a condición de que sean diferentes de cero (si no lo son, elige otro $x_i$) : expresamos las cosas en términos de la $y_i$ y luego el polinomio mínimo de a $y_i$ $K_{i+1}$ $T^{n_i} - y_i^{n_i}$ tan sólo necesitamos expresar $z_i = y_i^n$ en términos de$p,q,r,s,y_j$$j > i$.
Así que al final, las complicadas fórmulas para el $z_i$ en términos de$p,q,r,s,y_j$$j>i$, y las complicadas fórmulas para $X_1,X_2,X_3,X_4$ en términos de $p,q,r,s,y_j$ son lo que se necesita para resolver cualquier ecuación de cuarto grado. Galois teoría dice que existen fórmulas, no dice que ellos son agradables.
Ya que todo se basa en el procedimiento para expresar las cosas en términos de $x$ y más simétrica términos, es bueno saber que usted puede tener una fórmula explícita el uso de la Galois acción al $x$ $n$th raíz de una más simétrica plazo :
supongamos $Gal(L/K)$ es cíclico o oder $n$, $L = K(x)$ donde $x^n \in L$, e $\sigma(x) = \zeta_nx$. A continuación, tenemos una descomposición $L = \bigoplus_{0 \le k < n} (x^k). K$ donde $\sigma$ actúa en el $k$th componente como la multiplicación por$\zeta_n^k$.
Si $y \in L$, sabiendo que la expresión de $y$ en términos de $x$ y elementos de $L$ es el mismo como el conocimiento de los coeficientes de $y$ en esta base.
Pero en realidad, podemos expresar cada proyección como un polinomio en $\sigma$ : vamos a $\pi_l(y) = \sum \zeta_n^{-kl} \sigma^k(y)$. Tenemos $\sigma(\pi_l(y)) = \sum \zeta_n^{-kl} \sigma^{k+1}(y) = \zeta_n^l \sum \zeta_n^{-(k+1)l} \sigma^{k+1}(y) = \zeta_n^l \pi_l(y)$, lo que significa que $\pi_l(y)$ es en el $l$-ésima componente, y desde $\pi_l(x^l) = \sum x^l = nx^l$ ; $\frac 1n \pi_l$ es la proyección en el $l$-ésimo componente.
Y así tenemos para todos $y \in L$, $y = \frac 1n \sum \pi_l(y) = \sum \frac {\pi_l(y)}{nx^l}x^l$, donde $\frac {\pi_l(y)}{nx^l} \in K$ es la expresión que queremos.
