Dadas $\csc\theta=-\frac53$ y $\pi<\theta<\frac32\pi$, evaluar seno, coseno y tangente de $2\theta$

Question

Si $\csc\theta=\frac{-5}{3}$, ¿cuál es el valor exacto de $\tan(2\theta)$, $\sin(2\theta)$ y $\cos(2\theta)$en el intervalo de % de $\left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$?

Creo que estoy poniendo mal los negativos de fracción. He utilizado el formula($2\sin{\theta}\cos{\theta}$) de seno, la fórmula del coseno ($2\cos^2{\theta}-1$) y la fórmula de la tangente, $\left(\frac{\sin(2\theta)}{\cos(2\theta)}\right)$

originalmente responder el problema conseguí $\sin(2\theta)=\frac{24}{25}$, $\cos(2\theta)=\frac{7}{25}$ y $\tan(2\theta)=\frac{24}{7}$

Answer 1

%#% $ #%

utilizar las fórmulas $$\csc t = -5/3 \implies \sin t = y = -3/5, \cos t = x = \pm 4/5. $ $

Answer 2

Observe que $$\csc{x} = \frac{1}{\sin{x}}$$

y así $$\csc {x} = \frac{-5}{3} = \frac{1}{\sin{x}}$$ and so $\el pecado{x} = \frac{-3}{5}$

ahora desde $\color{blue}{\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1}$, entonces tenemos que $$\big(\frac{-3}{5}\big)^2 + \cos^2(x) = 1$$ and so we get that $$\frac{9}{25} + \cos^2(x) = 1$$ and so $\cos^2{x} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ and so $$\cos{x} = \pm \frac{4}{5}$$

Ahora quiere encontrar$\sin{2x}$, entonces usted debe utilizar la identidad de $\color{red}{\sin{2x} = 2\sin{x}\cos{x}}$, por lo que usted consigue $$\sin{2x} = 2\times {\frac{-3}{5}} \times \pm \frac{4}{5}$$.

Ahora usted debe el uso de otras identidad $\color{purple}{\cos{2x} = \cos^2{x} - \sin^2{x}}$ encontrar $\cos{2x}$ y, finalmente, usted debe utilizar la identidad que $$\color{green}{\tan{2x} = \frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}}$$

Para terminar su pregunta.

Yo le aconsejo que eche un vistazo a ese enlace para el estudio de sus identidades Doble ángulo indentities

Answer 3

Para el intervalo de $\theta\in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)$, tenemos $$\csc\theta=-\frac{5}{3} $$$$\implies \sin\theta=-\frac{3}{5} $$$$\implies\theta=\sin^{-1}\left(\frac{-3}{5}\right) $$ $% $ $\implies \color{green}{\theta=\pi+\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)} \quad (\pi

Ahora, tenemos $$\sin 2\theta=\sin2\left(\pi+\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right)$$$$=\sin\left (2\sin ^ {-1} \left(\frac{3}{5}\right)\right) $$ $$=\sin\left(\sin^{-1}\left(2\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{5}\right)\right)$$$$=\sin\left (\left(\frac{24}{25}\right)\right \sin^-{1}) = \frac {24} {25} $$ $$\implies \cos 2\theta=\cos2\left(\pi+\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right)$$$$ = \cos\left(2\sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)\right) $$ $$=\cos\left(\sin^{-1}\left(2\times \frac{3}{5}\times \frac{4}{5}\right)\right)$$$$=\cos\left (\sin^-{1} \left(\frac{24}{25}\right)\right) $$$$=\cos\left(\cos^{-1}\left(\frac{7}{25}\right)\right)$$$$=\frac {7} {25} %#% $$ $ #%

Answer 4

$\csc \theta=-\frac{5}{3}$

$\implies \sin^2\theta=\frac{9}{25}$

$\implies \cos^2\theta=\frac{16}{25}$

$\implies \cos2\theta=2*\frac{16}{25}-1=\frac{7}{25}$

También,

$\sin^22\theta=4\sin^2\theta\cos^2\theta=\frac{4\times9\times16}{25\times25}$

$\implies \sin2\theta=\frac{24}{25}$

Que le da

$\tan2\theta=\frac{24}{7}$

Answer 5

Se nos da que $\csc\theta = -\dfrac{5}{3}$ $\pi

Desde $\csc\theta = \dfrac{1}{\sin\theta}$,
$$\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} = \frac{1}{-\frac{5}{3}} = -\frac{3}{5}$ $ Utilizando la identidad trigonométrica $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ da\begin{align} \cos^2\theta & = 1 - \sin^2\theta\ & = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2\ & = 1 - \frac{9}{25}\ & = \frac{16}{25} \end{align} desde $\pi