Grupo abeliano no generado finitamente

Question

El teorema de la estructura: Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos $C_{d_0}\times C_{d_1}\times \ldots \times C_{d_k} \times L$ tal que $d_i | d_{i+1} \forall \space 0\le i\le {k-1}$ y $L$ es un grupo abeliano libre (es decir $\mathbb{Z}^r$ para algunos $r$ ). Un método para demostrar este hecho es utilizar la Forma Normal de Smith. ¿Cuál es un ejemplo de grupo abeliano que NO está generado finitamente? ¿Qué podemos decir sobre las clases de isomorfismo de los grupos abelianos generados infinitamente?

Answer 1

Supongamos que $(\mathbb Q,+)$ está generada finitamente. Entonces, por el teorema de la estructura existen $m,n\ge 0$ y $d_1\mid\cdots\mid d_m$ con $d_i>1$ tal que $\mathbb Q\simeq \mathbb Z/d_1\mathbb Z\oplus\cdots\oplus\mathbb Z/d_m\mathbb Z\oplus \mathbb Z^n$ . Si $m\ge 1$ entonces existe $x\in\mathbb Q$ , $x\neq 0$ , de tal manera que $d_1x=0$ una contradicción. Por lo tanto, obtenemos $m=0$ . Entonces $\mathbb Q\simeq \mathbb Z^n$ . Si $n\ge 2,$ entonces existe $x_1,x_2\in\mathbb Q$ que son linealmente independientes sobre $\mathbb Z$ . Pero $x_1=a_1/b_1$ y $x_2=a_2/b_2$ dar $(b_1a_2)x_1+(-b_2a_1)x_2=0$ una contradicción. Así que debemos tener $n=1$ Es decir, $\mathbb Q$ es cíclico. Supongamos que está generada por $a/b$ con $b\ge 1$ . Entonces $\frac{1}{b+1}$ no puede escribirse como $\frac{ka}{b}$ Y de nuevo una contradicción.

Answer 2

Como muestra la respuesta de Nicky Hekster, los números racionales $\mathbb{Q}$ bajo la adición proporcionar un ejemplo de un grupo abeliano no generado infinitamente. La clasificación de los grupos abelianos no generados infinitamente es un problema abierto. Véase Estado de la clasificación de los grupos abelianos no generados infinitamente. .

(Una forma diferente de ver por qué $(\mathbb{Q}, +)$ no está generada finitamente es observar que si $\{p_1/q_1, \ldots, p_n/q_n\}$ es un conjunto finito de números racionales entonces el subgrupo aditivo que genera está contenido en el subgrupo generado por $1/q$ donde $q$ es el mínimo común múltiplo del $q_i$ y por lo tanto no puede ser la totalidad de $\mathbb{Q}$ .)