¿Cómo puedo expresar en un puro razonamiento de modo simbólico? Ejemplos dentro.

Question

Tengo una pregunta general aquí, lo sé, pero voy a ir definir claramente a través de ejemplos.

Quiero saber cómo expresar el razonamiento puro, de manera simbólica, sin palabras, esto es posible?

Ejemplo: yo estaba leyendo acerca de interior del producto, en particular, acerca de euclidiano interior del producto que se define como

$$\langle\mathbf{x}|\mathbf{y}\rangle:=\sum_{k=1}^{n}x_ky_k\quad ;\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb R^n\tag{1}$$

Ahora puedo expresar algunas de las consecuencias de esta definición, y quiero hacerlo sólo con los símbolos. Por ejemplo, esto es correcto?

$$(1)\vdash\langle\mathbf{x}|\mathbf{x}\rangle\ge0$$

o tal vez debo utilizar algunos de flecha en lugar de denotar consecuencia (algo parecido a $\implies$ o $\rightarrow$)?

Continuar: después de la definición de producto interior euclidiano he leído (en el mismo libro, algunas líneas más abajo) la definición de la norma euclidiana como

$$\|\mathbf{x}\|:=\sqrt{\langle\mathbf{x}|\mathbf{x}\rangle}$$

Ahora la de Cauchy-Schwarz desigualdad:

$$|\langle\mathbf{x}|\mathbf{y}\rangle|\le\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\|$$

se entiende como una consecuencia de $x^2\ge0$. Ahora, la pregunta que abre este tema es... ¿cómo puedo expresar sólo con símbolos que el triangular de la desigualdad es una consecuencia de la pérdida de la negativa de cualquier cuadrado de cualquier número real?

Yo estaba pensando en escribir algo como

$$|\langle\mathbf{x}|\mathbf{y}\rangle|\le\|\mathbf{x}\|\|\mathbf{y}\| \because\forall x\in\mathbb R (x^2\ge0)$$

Esto es correcto? Hay otros símbolos de más de $\because$ a expresar la causalidad en el orden inverso, algo así como un reverso $\vdash$ o un reverso $\models$, algún revés que parece una flecha $\leftarrow$?

En general, existe una manera de escribir los conceptos de "propiedad" (o propiedades), "posiblemente", "una posibilidad", "a causa de", "si" (condición) de una manera formal? Es posible escribir matemáticas sólo con símbolos?

Por ejemplo, esto es posible escribir una lista de propiedades de una definición en un puro manera simbólica, sin palabras?

Si es, posiblemente, quiero un poco de bibliografía, si existen, sobre este tema. Para ser claros: algunos bibliografía acerca de la manera de expresar el razonamiento natural en un puro lenguaje simbólico.

Gracias de antemano.

P. S.: no estoy teniendo en cuenta esta pregunta un duplicado, sé que preguntas similares sobre el uso de los símbolos existen en mathexchange... pero ellos no son los mismos de la omi. Esta pregunta pone el foco en la escritura de la razón natural, en un sentido amplio, más que el uso correcto o incorrecto de la lógica del símbolo. De todos modos, si tenemos en cuenta que esta pregunta es duplicado de alguna manera (tal vez no me de búsqueda correctamente y he faltado a algunas preguntas similares) es aceptar que usted lo note.

Answer 1

Para contestar a la brevedad: Sí, se puede formalizar la matemática, en un 1er orden del lenguaje.

Para dar largos información adicional: yo tenía la misma pregunta a mí mismo hace dos años, así que aprendí a hacerlo. Básicamente, usted sólo necesita estudiar [de Primer Orden de la Lógica] (FOL) 1, hacer algunos ejercicios de formalización y aplicar este conocimiento a los axiomas de ZFC-la Teoría de conjuntos (<-- usted debe comprobar realmente este). El libro que me introdujo a estos conceptos era un libro viejo: Elliott Mendelson Introducción a la Lógica Matemática (sólo los dos primeros capítulos será suficiente). Después de leer que se puede comprobar la idea general en Wikipedia de un "sistema formal". No sólo hay un lenguaje simbólico en el que podemos hacer esto, pero una vez que sabes lo que es un sistema formal es y cómo funciona incluso puedes diseñar uno propio. Un muy famoso relativamente "nuevo sistema formal" para desarrollar la matemática es el lenguaje de Homotopy Tipo de Teoría.

El aprendizaje de la lengua de FOL también ayuda a entender mucho el razonamiento matemático detrás de las pruebas. Sin embargo, cuando empecé a escribir todo lo puro, de manera simbólica, la gente normalmente no lo entiendo, así que no recomiendo hacer eso. Si no vas a estudiar lógica y el diseño de trabajo o con la prueba de los asistentes, es que probablemente no se recomienda formalizar todo lo que en cualquier idioma (no sólo FOL), el hecho de saber que se puede hacer va a ser bueno. La cosa más importante a recordar es que usted tiene para comunicar sus ideas a otras personas, y la gente suele utilizar una combinación de FOL con el lenguaje natural.

Para responder al resto de tus preguntas:

Una muy vaga forma en que (1) puede ser escrita en FOL+ZFC es: $$\vdash\forall n\in\mathbb{N}\forall x\in\mathbb{R}^n\forall y\in\mathbb{R}^n[x=(x_1,x_2,\dots,x_n) \land y=(y_1,y_2,\dots,y_n)\rightarrow \langle x,y\rangle:=\sum_{k=1}^nx_ky_K]$$ Prestar atención en cómo "cada" variable debe aparecer junto a un cuantificador $\forall$ (incluso mi fórmula es incorrecta porque la $x_1,y_1,\dots,x_n,y_n$ no están delimitadas por un cuantificador). También tenga en cuenta que cada cuantificador aparece antes de que el contenido de la fórmula. Escrito después de que es "incorrecto" en el lenguaje de FOL. Lo mismo se aplica para la primera deducción que mostrar: $\vdash\forall x\in\mathbb{R}^n[\langle x,x\rangle\geq 0]$

La deducción que usted está pidiendo ($|\langle x,y\rangle|\leq\|x\|\|y\|\because\forall x\in\mathbb{R}[x^2\geq0]$) es bastante largo en cualquier sistema de deducción principalmente porque no sólo depende del hecho de que cada cuadrado de un número real es mayor o igual a 0, pero también depende sabiendo que "la suma de cualquier valor no negativo números reales es mayor o igual a 0", "la multiplicación y la suma de reales, te da como salida un verdadero" y muchas más reglas de FOL.

Sobre los símbolos:

• El "porque" el símbolo $\because$ no se utiliza en el FOL pero se puede usar de manera informal, siempre que se le olvidó mencionar una condición antes de su deducción.
• La "propiedad" es un meta-teórico del concepto y se representa como una variable que van más fórmulas de FOL. Generalmente nos dicen "vamos a $\varphi$ ser una propiedad con variables libres $x_1,\dots,x_n$, entonces ..."
• "Posiblemente" se puede expresar diciendo que la probabilidad de que el evento es mayor o igual a cero ($P[A]\geq0$).
• "si+," está escrito con el material de la implicación de los símbolos $\rightarrow$ $\Rightarrow$ (observe que usted puede utilizar esta al revés $\leftarrow$ o $\Leftarrow$ para el "algo si causa").
• El símbolo $\vdash$ con nada antes de que, al menos en FOL, significa literalmente "es un teorema que" cuando algo es antes de que, como en $\varphi,\psi\vdash\gamma$ es decir que la "$\gamma$ es un (sintáctica) consecuencia de asumir la $\varphi$$\psi$.
• Del mismo modo, el símbolo de $\models$ con nada antes de que significa "es lógicamente válido", y cuando algo es antes de que, como en $\varphi,\psi\models\gamma$ es decir que la "$\gamma$ es un (semántica) consecuencia de asumir la $\varphi$$\psi$.

Answer 2

Podrá hacerlo utilizando reglas de inferencia como:

$$\frac{\Gamma \vdash \forall x:X, P(x)}{\Gamma, x:X \vdash P(x)}$$

Debe instalarse en una sintaxis para hacer definiciones.

No sé los detalles, pero tal vez si deseas Principia mathematicia, que está escrito casi enteramente en este estilo.