Pregunta sobre valor propio de matriz hermítica

Question

Este es un problema de valor propio que encontré.

Que $A$ $n$ por $n$ hermítica compleja matriz y $u$ un vector en $C^n$ tal que $u^u=1$. Que $k=u^Au$.

Mostrar que existe un valor propio $r$ $A$ tal que $|r-k| \le ||Au-ku||_2$ (norma 2).

He estado tratando con algunos hechos acerca de máximo o mínimo valor propio pero no tiene ninguna pista en el final. Creo que se habla de cociente de Rayleigh tho. ¿Cómo debe hacerse?

Answer 1

No hay necesidad de asumir que $k$ es un cociente de Rayleigh, la mantiene encuadernado para cualquier % real $k$. Si $A=VDV^$ es una descomposición espectral de un unitario $A$y diagonal $V$ $D=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$, entonces $$ \ | Au-ku\ | _2 = \ | (A-kI) u\ | _2 = \ | (D-kI) v\ | _2, $$ donde $v=[\upsilon_1,\ldots,\upsilon_n]^T:=V^u$, $|v|_2=|u|_2=1$. Tan $$ \ | Au-ku\ | 2 ^ 2 = \sum {i = 1} ^ n (\lambda_i-k) ^ 2\upsiloni ^ 2\geq\min {1\leq i\leq n} (\lambdai-k) ^ 2\sum {i = 1} ^ n\upsiloni ^ 2 = \min {1\leq i\leq n} (\lambda_i-k) ^ 2. $$