¿Puede demostrar que un integral definida no tiene ninguna forma cerrada?

Question

Es un hecho bien conocido que algunas de las funciones poseen ninguna forma cerrada antiderivada sin embargo, todavía tienen las integrales definidas que tienen una forma cerrada. Un ejemplo clásico es la integral de Gauss $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\mathrm dx=\sqrt\pi$$ Ahora veamos las funciones que no poseen anitderivatives en forma cerrada. Hacemos esto porque encontrar la antiderivada es el más trivial de la forma de evaluar una integral definida. Es posible demostrar que una de las funciones de la integral definida, simplemente no existe en una forma cerrada?

Me imagino que para hacer tal cosa uno tendría que buscar en la naturaleza de las integrando con respecto a las diferentes técnicas para la evaluación de integrales definidas. Me parece que esta es una muy tedioso y difícil tarea, sin embargo, es posible?

Esto es similar en el sentido de demostrar que algunas ecuaciones polinómicas no puede tener una forma cerrada por los radicales, sin embargo, los radicales y funciones que son consideradas para ser "forma cerrada" son radicalmente diferentes. Esto significa que la mecánica de la prueba puede no ser muy bien entendido.

Estoy hablando específicamente de la Wikipedia la definición de la forma cerrada. Y si es posible el trabajo adicional que sería necesario si queremos permitir a funciones especiales. Beta, Gamma, Fer, PolyGamma etc.

Answer 1

Este tipo de problema tiene la misma relación con la Diferencial de la Teoría de Galois que el clásico problema de la determinación de cuando un polinomio no es solucionable por los radicales, con clásicos de la Teoría de Galois. A grandes rasgos, en que lugar se puede formalizar la noción de la forma cerrada, tal y como se puede extender un campo determinado para incluir las raíces de polinomios irreducibles sobre dicho campo, puede ampliar su declaración de que las funciones son de la forma cerrada lanzando en funciones que no son de forma cerrada, sino que son soluciones de las ecuaciones diferenciales que forma cerrada de los coeficientes.