¿Cómo puedo mostrar por qué esta ecuación no tiene ninguna raíces complejas?

Question

Me han pedido para no demostrar por qué una ecuación raíces complejas pero estoy en una pérdida completa.

La ecuación es

$F_{n+2}=F_n$

Donde $F_n=(x-1)(x-2)...(x-n)$ y n es un entero positivo.

Realmente agradeceria si alguien pudiera explicar cómo podía ir sobre Mostrar esto porque realmente me gustaría entender.

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $$Fn=(x-1)(x-2)...(x-n)$$ then $$F{n+2}=(x-1)(x-2)...(x-n)(x-(n+1)) (x-(n+2))$$ So, if $Fn=F{n+2}$, you have $$(x-1)(x-2)...(x-n)=(x-1)(x-2)...(x-n)(x-(n+1)) (x-(n+2))$$ So, you can factor and arrive to $$\Big((x-(n+1)) (x-(n+2)) -1\Big)F_n=0$$ The roots of the equation are those of $F_n=0$ (that is to say $1,2,3,\cdots,n-1,n$) and the roots of the factor $$(x-(n+1)) (x-(n+2)) -1$$ Expanding and grouping terms, we arrive to the following quadratic $$x^2-(2 n+3) x+(n^2+3 n+1)=0$$

Estoy seguro que usted puede tomar desde aquí.

Answer 2

$F_{n+2}=(x-1)(x-2) \cdots (x-n)(x-(n+1))(x-(n+2))$.

Por lo tanto, la ecuación de $F_{n+2}=F_n$ definitivamente tiene $1,2, \cdots n$ como las raíces. Ahora "Cancelar" los términos comunes. Te queda la ecuación:

$(x-(n+1))(x-(n+2))=1$. Resolver esta cuadrática directamente para mostrar que no hay ningún complejo raíces.

Answer 3

$F_{n}=(x-1)(x-2) \cdots (x-n)$

$F_{n+2}=(x-1)(x-2) \cdots (x-n)(x-(n+1))(x-(n+2))$

$F{n} = F{n+2}$

$(x-1)(x-2) \cdots (x-n)=(x-1)(x-2) \cdots (x-n)(x-(n+1))(x-(n+2))$

$(x-1)(x-2) \cdots (x-n)[(x-(n+1))(x-(n+2)) - 1] = 0$

$(x-1)(x-2) \cdots (x-n)[(x^2-[(n+2)+(n+1)]x+(n+1)(n+2) - 1] = 0$

$(x-1)(x-2) \cdots (x-n)[x^2-(2n+3)x+n^2+3n+ 1] = 0$

Por lo tanto $x = 1,2,3,...,(n-1),n$ y $x^2-(2n+3)x+n^2+3n+ 1 = 0$

$$x=\frac{(2n+3)\pm \sqrt{(2n+3)^2-4(1)(n^2+3n+1)}}{2(1)}$$

$$x=\frac{(2n+3)\pm \sqrt{5}}{2}$$

$$x=\frac{2n+3+ \sqrt{5}}{2} x=\frac{2n+3- \sqrt{5}}{2}$$

Por lo tanto, las raíces no son complejas