Una caja tiene tres monedas. Una tiene dos caras, otra dos colas y la última es una moneda justa.

Question

Estoy atascado en esta pregunta:

Una caja tiene tres monedas. Una tiene dos caras, otra tiene dos colas y la otra es una moneda justa con una cara y una cola. Se elige una moneda al azar y sale cara.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda elegida sea la de dos caras

b) ¿Cuál es la probabilidad de que si se lanza otra vez salga cara

c) ¿Cuál es la probabilidad de que la moneda elegida sea la de dos caras, suponiendo que la moneda se lanza por segunda vez y vuelve a salir cara

He resuelto la parte a, y la respuesta es $\frac 23$ .

Sin embargo, estoy atascado en las partes b y c. Este es mi proceso de pensamiento:

parte b: P(Cara en el segundo lanzamiento) = P( $H_2$ | $H_1$ ) $\cdot$ P(moneda justa) + P( $H_2$ | $H_1$ ) $\cdot$ P(moneda con dos caras) = $\frac 12$ $\cdot$ $\frac 13$ + 1 $\cdot$ $\frac 13$ = $\frac 12$ y no estoy seguro de cómo empezar con la parte c.

La respuesta a la parte b debe ser $\frac 56$ pero, ¿alguien puede explicar por qué? Gracias.

Answer 1

Tu respuesta a la parte (a) es incorrecta. Si sacas una moneda al azar y la lanzas, tienes seis escenarios:

1. Cabeza 1 de una moneda de dos caras
2. Cabeza 2 de una moneda de dos caras
3. Cabeza de la moneda justa
4. Cola de la moneda justa
5. Cola 1 de una moneda de dos colas
6. Cola 2 de una moneda de dos colas

3 de ellas son "caras", y 2 de esas 3 corresponden a la moneda de 2 caras. Por lo tanto, la respuesta a la parte (a) es $\frac 23$

Parte (b): Probabilidad de obtener doble cara * obtener cara de esa doble cara + Probabilidad de obtener justa * obtener cara de esa moneda justa $$\frac 23 \cdot 1+\frac 13 \cdot \frac 12=\frac 56$$

Parte (c): Ahora tienes $3\cdot 2\cdot 2=12$ posibilidades; compruebe todas ellas y vea cuáles de las que implican dos cabezas implican la moneda de dos caras.

También puedes consultar el Teorema de Bayes; cubre problemas como éste.

Answer 2

Parte $a$ no da $p=\frac{1}{2}$ . Supongamos que las dos cabezas/colas de las monedas amañadas están marcadas con 1,2.

Desglósalo en 6 posibilidades:

• Moneda justa - Salió cara
• Moneda justa - Salió cruz
• Dos cabezas - Salió cara 1
• Dos cabezas - Salió cara 2
• Dos colas - Salió cola 1
• Dos colas - Salieron colas 2

Usted sabe que surgió cabezas por lo que hay $3$ posibilidades a la izquierda. $2$ tienen la moneda injusta y $1$ con la moneda justa.

Como ejemplo extremo para entender el razonamiento, sustituye las monedas por dados de 100 caras. Un dado tiene todas las 100, otro es justo y otro tiene todas las 1. Un DM detrás de la pantalla hace rodar uno de ellos hacia él/ella y le dice que tiene 100. ¿Apuestas a que usaron los dados amañados?

Ya sabes que la primera tirada dio cara así que en la parte b, no es $\frac{1}{3}$ cada uno.

$$P(H_2 \mid Fair,H_1) P(Fair \mid H_1) = \frac{1}{2} \frac{1}{3}\\ P(H_2 \mid Two Heads,H_1) P(Two Heads \mid H_1) = 1 \frac{2}{3}\\ P(H_2 \mid Two Tails,H_1) P(Two Tails \mid H_1) = 0 \times 0\\ P(H_2 \mid H_1) = \sum above = \frac{1}{6} + \frac{4}{6} = \frac{5}{6}\\ $$

Answer 3

En primer lugar, definamos claramente los acontecimientos:

• $C_{Heads}$ = "Se extrae de la caja una moneda con cara"

• $C_{Tails}$ = "La moneda con rabo se saca de la caja"

• $C_{Fair}$ = "La moneda justa se extrae de la caja"

• $H_i$ = "La moneda da cara cuando se lanza el $i$ -a la vez"

• $T_i$ = "La moneda da Cruz cuando se lanza el $i$ -a la vez"

a) Buscamos $P(C_{Heads}|H_1)$ . Sólo hay que utilizar el teorema de Bayes:

$P(C_{Heads}|H_1) = \frac{P(H_1|C_{Heads})* P(C_{Heads})}{ P(H_1) }= \frac{1*1/3}{1/2} = 2/3$

con $P(H_1)=1/2$ porque en la caja hay 3 caras y 3 colas en total y $P(C_{Heads}) = 1/3$ porque es 1 moneda de 3 que podemos sacar de la caja.

b) Buscamos $P(H_2|H_1)$ . Utilicemos la regla de la probabilidad total: $P(H_2|H_1) = P(H_2|H_1,C_{Heads}) * P(C_{Heads}|H_1) + P(H_2|H_1,C_{Tails}) * P(C_{Tails}|H_1) + P(H_2|H_1,C_{Fair}) * P(C_{Fair}|H_1) = 1*2/3 + 0 + 1/2 * 1/3 = 5/6$

c) Buscamos $P(C_{Heads}|H_1,H_2)$ . De nuevo, utilicemos el teorema de Bayes:

$P(C_{Heads}|H_2,H_1)=\frac{P(H_2,H_1|C_{Heads})*P(C_{Heads} )}{P(H_2,H_1)}= \frac{P(H_2,H_1|C_{Heads})*P(C_{Heads} )}{P(H_2|H_1)*P(H_1)} = \frac{1*1/3}{5/6*1/2}= 4/5$

Por lo tanto, si sale cara dos veces, hay un 80% de probabilidades de que haya elegido la moneda con cara.