Construcción de un campo con exactamente los elementos de $81$

Question

Yo estaba pensando en $\frac{\mathbb{Z_3}[x]}{(x^3+x+1)} \times \frac{\mathbb{Z_3}[x]}{(x^3+x+1)}$.

$(x^3+x+1)$ es irreducible en a$\mathbb{Z_3[x]}$ por lo que el cociente será un campo, y un campo de cruzar un campo parece que debería ser un campo de mí!

¿Cómo puedo hacer esto si el trabajo de más de $\mathbb{Z_9}$ e $\mathbb{Z_2}$? en $\mathbb{Z_9}$ tendría que encontrar una irreductible cuadrática y, a continuación, cociente por que, ¿correcto? Gracias de antemano!!

Answer 1

No, No puedes hacer $F \times F$ porque $(a,0) \times (0,b) = (0,0)$ rompería el campo de los axiomas.

Usted necesita dar un polinomio irreducible $P$ grado $4$ sobre $\mathbb{Z}_3$ así que usted puede dar a los representantes de $\mathbb{Z}_3[x]/(P)$ por polinomios de grado $\leq 3$. Los coeficientes de $1$, $x$ $x^2$ e $x^3$ son libres para elegir, así que hay un total de $3^4$ elementos de la esfera como se desee.

Consiguiendo $P$ es más complicado. Si usted tiene una opcion para un polinomio irreducible de verificación con Rabin de la prueba

Answer 2

Un campo con $81$ elementos deben ser de la división de campo de la $x^{81}-x$. Es también una extensión de $\mathbb F_3$ grado $4$. Por lo tanto, tomar cualquier irreductible cuártica factor de $x^{81}-x$, por ejemplo, $x^4+x+2$. WA dice todo de ellos.

Answer 3

Vamos a ver. ¿Cuáles son los irreductible cuadráticas: $x^2+x+2\,,x^2+2x+2\,,x^2+1$.

Yo recuento $3$ (gracias @Lubin).

Por lo tanto, hay ${3\choose 2}+3=6$ de las combinaciones de verificación.

Estas son las $6$ cuárticas puedo obtener: $x^4+1\,,x^4+x^3+x+1\,,x^4+2x^3+2x+2 \,,x^4+2x^3+x^2+x+1\,,x^4+x^3+x^2+2x+1\,,x^4+2x^2+1$.

Pero hay $2\cdot 3^4=162$ cuárticas para elegir... $81$ de ellos monic.

Así que, si he de elegir una cuártica que no tienen una raíz y no está entre las $6$ productos será irreducible.

Así que, ¿qué $x^4+2x^3+2$?

Finalmente, $\mathbb F_{3^4}\cong\frac{\mathbb Z_3[X]}{x^4+2x^3+2}$.