Escribir $a_n = u_n - \alpha u_{n-1}$ y observe que para cualquier $0 < k < n$,
$$ u_n = a_n + \alpha a_{n-1} + \cdots + \alpha^{k-1}a_{n-k+1} + \alpha^{k} u_{n-k}. $$
Desde $(a_n)$ converge, está rodeado por algunos de los $M_1 > 0$. Entonces la fórmula anterior con $k = n-1$ muestra que
$$ \lvert u_n \rvert \leq \frac{M_1}{1-\alpha} + \lvert u_0 \rvert =: M_2, $$
lo que demuestra que $(u_n)$ es también limitada. Ahora vamos a $\ell$ el límite de $(a_n)$ y fijar un entero positivo $N$. Entonces
\begin{align*}
\left| u_n - \frac{\ell}{1-\alpha} \right|
&= \left| \alpha^N u_{n-N} + \sum_{k=0}^{N-1} \alpha^k (a_{n-k} - \ell) - \frac{\alpha^N \ell}{1-\alpha} \right| \\
&\leq \alpha^N \left(M_2 + \frac{\lvert\ell\rvert}{1-\alpha}\right) + \sum_{k=0}^{N-1} \alpha^k \lvert a_{n-k} - \ell \rvert.
\end{align*}
Tomando limsup como $n\to\infty$, tenemos
$$ \limsup_{n\to\infty} \left| u_n - \frac{\ell}{1-\alpha} \right| \leq \alpha^N \left(M_2 + \frac{\lvert\ell\rvert}{1-\alpha}\right). $$
Desde el lado de la mano izquierda es independiente de $N$, podemos dejar que $N\to\infty$ a mostrar que la limsup es, de hecho, $0$. Por lo tanto, $u_n$ converge a $\ell/(1-\alpha)$.
