Hay algunas aplicaciones al álgebra conmutativa, que creo que puede ser entendido por un alto nivel de pregrado que ha tomado un curso sobre conmutativa anillos y módulos. Usted puede mirar en esta encuesta por André para una descripción más a fondo de las aplicaciones de perfectoid espacios para el álgebra conmutativa.
El siguiente fue conjeturado por Hochster en 1969:
Directo sumando conjetura. Deje $R$ regular anillo, y deje $R \to S$ ser una extensión de anillos tal que $S$ es finitely generado como un módulo más de $R$. Entonces, la inclusión $R \to S$ divisiones como un homomorphism de $R$-módulos, es decir, $R$ es un sumando directo de $S$.
Hochster resultó ser el caso cuando se $R$ contiene un campo en 1973, y Heitmann resultó ser el caso cuando se $\dim R \le 3$ en 2002. El caso general ha sido recientemente resuelta por André utilizando perfectoid espacios, y Bhatt, también ha dado una prueba más corta.
Una formulación equivalente es la siguiente:
Monomio conjetura. Deje $R$ ser un anillo local de dimensión $d$, y deje $x_1,x_2,\ldots,x_d \in R$ ser un sistema de parámetros. A continuación, para cada entero positivo $t$, tenemos
$$x_1^tx_2^t\cdots x_d^t \notin (x_1^{t+1},x_2^{t+1},\ldots,x_d^{t+1}).$$
Una manera de pensar de esta última afirmación es que un análogo de la declaración de $x_1,x_2,\ldots,x_d$ ser una secuencia regular no es demasiado difícil de demostrar (ver una de mis respuestas), de ahí que la conjetura es preguntarse si ser un sistema de parámetros es suficiente.
