Recientemente me han llegado a través de la siguiente integral, mientras que va más de esta lista de problemas ( $35$)
$$\int_0^{\infty}\frac{\operatorname{Li}_s(-x)}{x^{\alpha+1}}dx=-\frac1{\alpha^s}\frac{\pi}{\sin(\pi \alpha)}~~~~s>0, \alpha\in(0,1)$$
donde $\operatorname{Li}_s(x)$ denota la Polylogarithm Función.
Traté de usar la expansión de la serie de $\operatorname{Li}_s(-x)$ que los rendimientos de
$$\begin{align} \int_0^{\infty}\frac{\operatorname{Li}_s(-x)}{x^{\alpha+1}}dx&=\int_0^{\infty}\frac1{x^{\alpha+1}}\left[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-x)^n}{n^s}\right]dx\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}\int_0^{\infty}\frac{x^n}{x^{\alpha+1}}dx\\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^s}\int_0^{\infty}x^{n-\alpha-1}dx \end{align}$$
Pero uno puede ver fácilmente los problemas relativos a la convergencia de la última integral. Además no estoy seguro de si es posible intercambiar el orden de la suma y de la integración, en este caso o no.
Otro enfoque sería el uso de la integral represantation de $\operatorname{Li}_s(-x)$ , de modo que la integral dada se convierte en
$$\begin{align} \int_0^{\infty}\frac{\operatorname{Li}_s(-x)}{x^{\alpha+1}}dx&=\int_0^{\infty}\frac1{x^{\alpha+1}}\left[\frac1{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}}{e^t/(-x)-1}dt\right]dx\\ &=\frac{-1}{\Gamma(s)}\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\frac{t^{s-1}}{x^{\alpha}(e^t+x)}dxdt\\ \end{align}$$
pero de aquí en adelante, no tengo ni idea de cómo proceder. Ya que la solución me recuerda a la de Euler Reflexión Fórmula es posible de alguna manera a reshaphe la integral en términos de la Función Gamma.
Por eso estoy pidiendo una evaluación completa de la integral dada. No he encontrado nada estrechamente conectado a esta pregunta, pero se puede corregir si me han supervisado algo.
Gracias de antemano!
