Palmo de los vectores con más entradas en cada vector de la cantidad de vectores

Question

Puedo visualizar fácilmente por qué $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix}$ and $\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix}$ spans $R^2$. I have learned that we need at least two linearly independent vectors to span $R^2$, $3$ to span $R^3$ , y así sucesivamente... Esto es fácil de visualizar cuando las entradas de los vectores de la misma como la cantidad total de vectores.

Pero ¿qué pasa si, por ejemplo, de los dos vectores $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $\begin{bmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{bmatrix}$.

Claramente, los dos vectores son linealmente independientes, pero todavía sólo abarcan $R^2$? Si añadimos los dos vectores que producen $\begin{bmatrix} 1\\ 1\\1\\1 \end{bmatrix}$ which is a vector in $R^4$, ¿verdad?

Así que mi pregunta se reduce a lo que es el lapso de $\begin{bmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ and $\begin{bmatrix} 0\\1\\0\\1 \end{bmatrix}$, y en general lo que es el lapso de un conjunto de vectores con más entradas en cada vector de vectores en total?

Answer 1

Sus vectores viven en <span class="math-container">$\mathbb{R}^4$</span>, no en <span class="math-container">$\mathbb{R}^2$</span>, y por lo tanto es imposible que ciñan <span class="math-container">$\mathbb{R}^2$</span>. Desde que vivan en <span class="math-container">$\mathbb{R}^4$</span>, abarcan un subespacio de <span class="math-container">$\mathbb{R}^4$</span>, whish pasa a ser<span class="math-container">$$\left{ $$\begin{bmatrix}x&y&x&y\end{bmatrix}$$ ^T\,\middle|\,x,y\in\mathbb{R}\right}.</span>

Answer 2

El espacio de los vectores que usted menciona es un subespacio del espacio vectorial a la que pertenecen. Por lo $(1,0,1,0)$ e $(0,1,0,1)$ abarcan un subespacio de dos dimensiones (ya que como se nota que los vectores son linealmente independientes) de $\mathbb{R}^4$. No es $\mathbb{R}^2$ exactamente como este subespacio que contiene a$4$-tuplas, pero que es "equivalen" (en cierto sentido) a $\mathbb{R}^2$ si esto es de interés para usted.

Así que, en general, de un palmo de $m<n$ vectores linealmente independientes en $\mathbb{R}^n$ es $m$-dimensiones subespacio de $\mathbb{R}^n$.

Answer 3

Que están a la derecha de los dos vectores son linealmente independientes y, por tanto, que abarcan un $2$ dimensiones subespacio en $\mathbb{R^4}$ que está en forma paramétrica

$$\begin{bmatrix} x\\ y \\ z \\ w \end{bmatrix}=s\cdot \begin{bmatrix} 1\\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}+t\cdot \begin{bmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s\\ t \\ s \\ t \end{bmatrix}$$

con $s,t \in \mathbb{R}$o en forma cartesiana

• $x=z$
• $y=w$