Supongamos que $ H\leqslant G $ demostrar que si $ (H, G')=\langle e \rangle $ entonces $ (H', G)=\langle e \rangle $ .

Question

Estoy trabajando en este ejercicio de Álgebra de Hungerford (Ejercicio II.7.3(b)). En él se dice

Si $ H $ y $ K $ son subgrupos de un grupo $ G $ , dejemos que $ (H, K) $ sea el subgrupo de $ G $ generado por los elementos $ \{ hkh^{-1}k^{-1}|h\in H, k\in K \} $ . Demostrar que

Si $ (H, G')=\langle e \rangle $ entonces $ (H', G)=\langle e \rangle $ .

$ G' $ es el subgrupo conmutador de $ G $ .

Mi intento: $ (H', G)= \langle e \rangle $ es lo mismo que $ H' $ está en el centro de $ G $ . Entonces estoy atascado... No he podido encontrar ninguna herramienta útil para simplificar el problema. ¿Puede alguien darme una pista? Gracias.

Answer 1

Por el ejercicio anterior del libro, para $h,k \in H$ y $g \in G$ tenemos $[hk,g] = h[k,g]h^{-1}[h,g] = [k,g][h,g]$ porque $(H,G')=1$ (Estoy escribiendo $1$ para $\langle e \rangle$ y también para $e$ .)

Tenemos que demostrar que $[[h,k],g] = 1$ . Tenemos

$$[[h,k],g] = [hkh^{-1}k^{-1},g] = [k^{-1},g][h^{-1},g][k,g][h,g] = [k,g]^{-1}[h,g]^{-1}[k,g][h,g].$$

Ahora, utilizando $(H,G')=1$ de nuevo, tenemos $h^{-1}[k,g]h=[k,g]$ y $hg^{-1}[k,g]gh^{-1} = g^{-1}[k,g]g$ y así $$[k,g]^{-1}[h,g]^{-1}[k,g][h,g] = [k,g]^{-1}ghg^{-1}h^{-1}[k,g]hgh^{-1}g^{-1}=[k,g]^{-1}[k,g]=1,$$ a necesario.

Answer 2

Basado en la idea del Dr. Derek Holt, queremos mostrar $ [a,b]x [a,b]^{-1}x^{-1} = 1 $ donde $ a,b \in H, x \in G $ .
El dato importante que nos da la hipótesis es que $ (H,G') = 1 $ implica $ hg' = g'h$ para $ g' \in G', h \in H$ .
Ahora, por la prueba 2 de Hungerford, tenemos que $ x[b,a]x^{-1} = [xb,a] [x, a]^{-1} $ . Entonces $$ [a,b]x [a,b]^{-1}x^{-1} = [a,b]x [b,a] x^{-1} = [a,b] [xb,a] [x, a]^{-1} = [a,b] [xb,a] [a,x], $$ expandiendo los dos primeros términos y simplificando, tenemos $$ = xbab^{-1}x^{-1}ba^{-1}b^{-1} [a,x] $$ Desde $ b^{-1} \in H$ utilizando el hecho anterior, esto da $$ = xbab^{-1}x^{-1}ba^{-1} [a,x] b^{-1} $$ Ampliar $[a,x]$ y simplificando se obtiene $$= xbab^{-1}x^{-1}bxa^{-1}x^{-1}b^{-1} = xba[b^{-1},x^{-1}] a^{-1}x^{-1}b^{-1}$$ Utilizando de nuevo el hecho anterior y simplificando, tenemos $$ = xb[b^{-1},x^{-1}]x^{-1}b^{-1} = 1 $$