Supongamos que $H\leqslant G$ demostrar que si $(H, G')=\langle e \rangle$ entonces $(H', G)=\langle e \rangle$ .

Question

Estoy trabajando en este ejercicio de Álgebra de Hungerford (Ejercicio II.7.3(b)). En él se dice

Si $H$ y $K$ son subgrupos de un grupo $G$ , dejemos que $(H, K)$ sea el subgrupo de $G$ generado por los elementos $\{ hkh^{-1}k^{-1}|h\in H, k\in K \}$ . Demostrar que

Si $(H, G')=\langle e \rangle$ entonces $(H', G)=\langle e \rangle$ .

$G'$ es el subgrupo conmutador de $G$ .

Mi intento: $(H', G)= \langle e \rangle$ es lo mismo que $H'$ está en el centro de $G$ . Entonces estoy atascado... No he podido encontrar ninguna herramienta útil para simplificar el problema. ¿Puede alguien darme una pista? Gracias.

Answer 1

Por el ejercicio anterior del libro, para $h,k \in H$ y $g \in G$ tenemos $[hk,g] = h[k,g]h^{-1}[h,g] = [k,g][h,g]$ porque $(H,G')=1$ (Estoy escribiendo $1$ para $\langle e \rangle$ y también para $e$ .)

Tenemos que demostrar que $[[h,k],g] = 1$ . Tenemos

$$[[h,k],g] = [hkh^{-1}k^{-1},g] = [k^{-1},g][h^{-1},g][k,g][h,g] = [k,g]^{-1}[h,g]^{-1}[k,g][h,g].$$

Ahora, utilizando $(H,G')=1$ de nuevo, tenemos $h^{-1}[k,g]h=[k,g]$ y $hg^{-1}[k,g]gh^{-1} = g^{-1}[k,g]g$ y así $$[k,g]^{-1}[h,g]^{-1}[k,g][h,g] = [k,g]^{-1}ghg^{-1}h^{-1}[k,g]hgh^{-1}g^{-1}=[k,g]^{-1}[k,g]=1,$$ a necesario.

Answer 2

Basado en la idea del Dr. Derek Holt, queremos mostrar $[a,b]x [a,b]^{-1}x^{-1} = 1$ donde $a,b \in H, x \in G$ .
El dato importante que nos da la hipótesis es que $(H,G') = 1$ implica $hg' = g'h$ para $g' \in G', h \in H$ .
Ahora, por la prueba 2 de Hungerford, tenemos que $x[b,a]x^{-1} = [xb,a] [x, a]^{-1}$ . Entonces $$[a,b]x [a,b]^{-1}x^{-1} = [a,b]x [b,a] x^{-1} = [a,b] [xb,a] [x, a]^{-1} = [a,b] [xb,a] [a,x],$$ expandiendo los dos primeros términos y simplificando, tenemos $$= xbab^{-1}x^{-1}ba^{-1}b^{-1} [a,x]$$ Desde $b^{-1} \in H$ utilizando el hecho anterior, esto da $$= xbab^{-1}x^{-1}ba^{-1} [a,x] b^{-1}$$ Ampliar $[a,x]$ y simplificando se obtiene $$= xbab^{-1}x^{-1}bxa^{-1}x^{-1}b^{-1} = xba[b^{-1},x^{-1}] a^{-1}x^{-1}b^{-1}$$ Utilizando de nuevo el hecho anterior y simplificando, tenemos $$= xb[b^{-1},x^{-1}]x^{-1}b^{-1} = 1$$