¿Si $\frac{\cos x}{\cos y}+\frac{\sin x}{\sin y}=-1$, entonces lo que ' s el valor de $4\left(\frac{\cos^3y}{\cos x}+\frac{\sin^3y}{\sin x}\right)$?

Question

Estaba tratando de resolver este problema:

Si $$\frac{\cos x}{\cos y}+\frac{\sin x}{\sin y}=-1$ $, lo que es el valor de $$S=4\left(\frac{\cos^3y}{\cos x}+\frac{\sin^3y}{\sin x}\right)$ $

He intentado resolver este problema usando un cambio de variables $\cos^3y=a\cos x$ y $\sin^3y=b \sin x$.

Así que: $$\frac{S}{4}=a+b$$ $$\frac{\cos^6y}{a^2}+\frac{\sin^6y}{b^2}=1$ $ y $$\frac{\cos^2y}{a} + \frac{\sin^2y}{b}=-1$ $ trató de manipular estas ecuaciones, pero no da resultado

Answer 1

No sé si esto ayuda, pero esto es lo que he descubierto hasta ahora

La primera ecuación puede ser escrita como $$\cos x \sin y + \sin x \cos y = -\cos y \sin y$$ o el uso de la doble ángulo de fórmula $$\sin (x+y) = -\cos y \sin y$$ Por el triple del ángulo de fórmulas para el seno y el coseno, tenemos que $$\sin^3(y)=\frac{3\sin(y)-\sin(3y)}{4}, \, \cos^3(y) = \frac{3\cos(y) + \cos(3y)}{4}$$ Conectar este y la simplificación de las fracciones, obtenemos $$S=\frac{3\cos(y)\sin(x) + \cos(3y)\sin(x) +3\sin(y)\cos (x)-\sin(3y)\cos(x)}{\cos x \sin x}$$ Reorganizado, esto es $$S=\frac{3\cos(y)\sin(x) +3\sin(y)\cos (x) + \cos(3y)\sin(x) -\sin(3y)\cos(x)}{\cos x \sin x}$$ Y el uso de la suma y la diferencia de ángulo de fórmulas para el seno, obtenemos $$S=\frac{3\sin(x+y) + \sin(x-3y)}{\cos x \sin x}$$

EDIT: Utilizando el software desmo y conectando los valores de la prueba de $x,y$ que satisface la primera ecuación, obtenemos $\fbox{4 }$. Supongo que me dejaré a alguien más inteligente para demostrar por qué se trabaja, en lugar de simplemente mostrar lo que hace.

Answer 2

http://comentario.fariasbrito.com.br/vest/index.php?vid=68 Hay que ir (es la séptima pregunta).

Es un muy interesante problema, pero creo que cuando estás en busca de problemas de IME o ITA, usted debe primero consultar los sitios de los cursos que están sobre ellos si los problemas no son de antes del año 2000 (como el que me envió y Poliedro).

@edit: Una persona me dijo que yo debería esquema de la solución aquí, así que aquí voy:

$$S = \frac{(3\sin (x+y) + \sin(x-3y))}{\sin x \cos x}$$ (según R. D.)

A continuación, la definición de $a = 3\sin (x+y) + \sin(x-3y)$, $b = \sin x \cos x$ y al ver que $\frac{\cos x}{\cos y} + \frac{\sin x}{\sin y} = -1 \Rightarrow \sin y \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos y = -\sin y \cdot \cos y \Rightarrow 2\sin(x+y) +\sin 2y = 0 = c$ obtenemos:

$$S = \frac ab$$

$$a-4b-2c = a-4b = 3\sin (x+y) + \sin(x-3y) - 2\sin 2x - 4\sin (x+y) - 2\sin2y = -\sin (x+y) + \sin(x-3y) - 2\sin 2x - 2\sin2y = 2\sin (-2y)\cdot \cos (x-y) - 2\cdot 2\sin (x+y) \cdot \cos(x-y)$$

Desde $2\sin(x+y) = -\sin 2y$ obtenemos:

$$a - 4b = -2\sin 2y \cdot \cos (x-y) + 2\sin 2y \cdot \cos (x-y) = 0 \Rightarrow a = 4b$$

Por lo tanto: $$S = \frac {4b}{b} \Rightarrow S = 4$$

En el enlace hay otra solución que es más grande, pero creo que debería ser más accesible para las personas que no quieren el truco de usar $a, b$ e $c$.