Quitando los factores para que el número termine en'2225'

Question

Tenemos los enteros 1, 2, ..., 50000.Si los multiplicamos entre sí, los cuatro últimos dígitos serán '0000'. ¿Cuántos enteros hay que eliminar para que el producto de los enteros restantes termine en "2225"?

Sé que si un entero termina en '2225', sus factores no contienen ningún '2', por lo que hay que eliminar al menos 25000 enteros. Además, '2225' es divisible por 25 pero no es divisible por 125. Por lo tanto, hay que eliminar 50002=4998 múltiplos de 5. Por lo tanto, al menos 25000+4998=29998 se han anulado. Sin embargo, ¿cómo puedo demostrar que el múltiplo de los enteros restantes termina en "2225" (puedo elegir reservar qué múltiplos de 5), o hay que eliminar algún otro entero? Gracias de antemano.

Answer 1

Supongamos que el producto de la $20000$ sin $2$ o $5$ es $A$ y elegimos $5B$ y $5C$ . Queremos elegir $B$ y $C$ para que $ABC=400D+89$ . Sea $B=1$ .
- Deja que $C_1$ sea cualquier dígito que haga $AC_1$ terminar en $9$ .
- Deja que $C_2$ sea cualquier dígito que haga $A(C_1+10C_2)$ final en el 89.
- Deja que $C_3$ sea el que sea de $1,2,3,4$ hace $AC=89\pmod{400}$ .

Answer 2

Si se eliminan todos los $25000$ números pares y todo $5000$ Múltiplos Impares de $5$ el producto de los números restantes tendrá un cierto resto impar (=invertible) $a\pmod {2^4}$ y un cierto resto invertible $b\pmod {5^4}$ . Tenemos que volver a multiplicar uno o más números para conseguir un resto de $2225\pmod {2^4}$ y $2225\pmod{5^4}$ . Para ello, podemos utilizar el Teorema del Resto Chino para encontrar un único $x\in\{2,\ldots,1+2^45^2=401\}$ con $$x\equiv a^{-1}\frac{2225}{25}\pmod {2^4},\quad x\equiv b^{-1}\frac{2225}{25}\pmod{5^2}.$$ Obviamente, $x$ será impar y no divisible por $5$ . Luego, sumando el factor $25x$ producirá un producto terminado en $2225$ como se desee. Alternativamente, podemos devolver dos factores $5$ y $5x$ (nota que $x\ne 1$ ). En resumen, hemos eliminado $25000+5000-2$ números (y menos no es posible).