Demostrando una convexidad desigualdad.

Question

Dado $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ convexo, muestran que: $$ \frac{2}{3}\left(f\left(\frac{x+y}{2}\right) + f\left(\frac{z+y}{2}\right) + f\left(\frac{x+z}{2}\right)\right) \leq f\left(\frac{x+y+z}{3}\right) + \frac{f(x) + f(y) + f(z)}{3}.$$

He probado algunas ideas, como la transformación en $$ f\left(\frac{x+y}{2}\right) + f\left(\frac{z+y}{2}\right) + f\left(\frac{x+z}{2}\right) - 3f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)\\ \leq f(x) + f(y) + f(z) - f\left(\frac{x+y}{2}\right) - f\left(\frac{z+y}{2}\right) - f\left(\frac{x+z}{2}\right) $$ (which graphically seemed intuitive) and using that such an $f$ se encuentra por encima de sus tangentes, pero no tuvo éxito... las Ideas son bienvenidas :)

Answer 1

Deje $x\geq y\geq z$.

Considerar dos casos.

1. $x\geq y\geq\frac{x+y+z}{3}\geq z$.

Desde aquí podemos ver que $2y\geq x+z$ y fácil comprobar que $$\left(\frac{x+y+z}{3},\frac{x+y+z}{3},\frac{x+y+z}{3},z\right)\succ\left(\frac{x+z}{2},\frac{x+z}{2},\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}\right),$$ que por Karamata da $$3f\left(\frac{x+y+z}{3}\right)+f(z)\geq2f\left(\frac{x+z}{2}\right)+2f\left(\frac{y+z}{2}\right).$$ Por lo tanto, es suficiente para probar que $$f(x)+f(y)\geq2f\left(\frac{x+y}{2}\right),$$ que es Jensen.

2. $x\geq \frac{x+y+z}{3}\geq y\geq z$.

Este caso es similar. Tratar de matar por ti mismo.