Polinomio en$\Bbb Z [X]$

Question

Deje que $P$ sea ​​un polinomio en $\Bbb Z [X]$ de grados $n$ de modo que $|P(x)|$ sea ​​un número primo para $2n+1$ de valores diferentes de x. Demuestre que $P$ es irreductible sobre $\Bbb Z [X]$ .

Answer 1

Sugerencia/esquema: Supongamos $P=RQ$ donde $R$ tiene el grado $d$ e lo $Q$ tiene el grado $n-d$. Deje $A=\{x:R(x)=1\}$, $B=\{x:R(x)=-1\}$, $C=\{x:Q(x)=1\}$, e $D=\{x:Q(x)=-1\}$.

Escrito $|S|$ para el número de elementos de a$S$: Mostrar que $$|A\cup B\cup C\cup D|>d+d+(n-d)+(n-d)$$(this is where the fact that $P$ takes prime values at $2n+1$ points comes in). Deduce that at least one of the inequalities $|A|>d$, $|B|>d$, $|C|>n-d$, $|D|>n-d$ must hold, and deduce that $R$ or $Q$ must be either $1$ or $-1$ for all $x$.

Answer 2

Supongamos $P=Q\times R$ donde $Q$ e $R$ son de grado $k,m$ donde $0<k,m<n$. Luego están:

en la mayoría de las $k$ números de $x_i$ para que $Q(x_i)=1$

en la mayoría de las $k$ números de $x_i$ para que $Q(x_i)=-1$

en la mayoría de las $m$ números de $x_i$ para que $R(x_i)=1$

en la mayoría de las $m$ números de $x_i$ para que $R(x_i)=-1$

Total de $2n$ números, así que para todos los otros número $x$ ambos $Q(x)$ e $R(x)$ no son iguales a $1$ o $-1$. Por lo $P(x)=Q(x)R(x)$ no es un número primo.

Es por eso que usted no puede tener 2n+1 números primos de reductible polinomio.

Answer 3

Si $p(x)$ factores, decir $p(x)=r(x)q(x)$. A continuación, $|p(x)|=|r(x)\cdot q(x)|=| r(x)|\cdot | q(x)|$.

Ahora si $|p(x)|$ es primo, entonces $|r(x)|=1$ o $|q(x)|=1$. $\therefore r(x)=\pm1$ o $q(x)=\pm1$.

Esto nos da en la mayoría de las $2n$ posible $x$'s. Para ver esto, observe que hay en la mayoría de las $2k$ soluciones de $r(x)=\pm1$, donde $k$ es el grado de $r$, por el teorema fundamental del álgebra. Y lo mismo para $q$, hay en la mayoría de las $2(n-k)$ soluciones.