¿Encontrar la probabilidad de que la espada trece aparece antes el diamante 13?

Question

El $52$ cartas de la baraja de cartas se colocan sucesivamente uno después de otro, de izquierda a derecha. Encontrar la probabilidad de que la decimotercera pala aparecerá antes de la decimotercera diamante?

Esto parece ser un problema difícil ya que contar los casos favorables son difíciles de contar. Claramente, la posición de la $13$th diamante debe ser entre $26$ e $N$. Ahora, he tratado de contar para valores específicos, pero me parece que esta difícil, tal vez hay una mejor manera?

Nota: He comprobado la respuesta y los casos favorables se supone son:

$$\sum_{k=26}^{52}(n-1)!(52-n)!\binom{26}{n-26}\cdot 13.$$

Así que supongo que esta feo suma dividida por $(52)!$ es igual a $1/2,$ derecho?

PS:

Pregunta:

Respuesta:

Answer 1

El uso de la simetría.

Vamos a escribir $P_1$ como la probabilidad de que la decimotercera pala viene antes de la decimotercera diamante, y deje $P_2$ ser la probabilidad de que la decimotercera diamante viene antes de la decimotercera pala.

Claramente, uno de estos debe ocurrir, y que no pueden realizarse ambas. Por lo tanto, tenemos que $$P_1+P_2=1$$ Además, dado que los trajes son arbitrarios, podemos aprovechar la simetría decir que $P_1=P_2$.

Por lo tanto, $P_1=P_2=1/2$.

De forma equivalente, el número de la cubierta de arreglos en los que la última pala viene antes de la última diamante es $52!/2$.

Answer 2

Por simetría, la probabilidad es <span class="math-container">$\frac 12$</span>. Creo que de barajar un mazo, luego intercambiar las espadas y diamantes de la fila correspondiente y hacer la pregunta. Este bijects los casos donde conseguir la decimotercera pala primero con los de donde sacas el diamante 13 primera.

Answer 3

Por simetría, la probabilidad es $\frac12$.

Formalmente, podemos biject la cubierta ordenamientos donde la última pala sale primero, con la cubierta de órdenes donde el último diamante sale primero, por la involución que los interruptores $A\spadesuit$ con $A\diamondsuit$, $2\spadesuit$ con $2\diamondsuit$, ..., $K\spadesuit$ con $K\diamondsuit$. Así que debe de ser $\frac12 \cdot 52!$ ordenamientos de cada tipo, lo que hace que la probabilidad de $\frac12$.

Answer 4

En caso si tienes curiosidad por saber cómo simplificar la suma directamente a <span class="math-container">$\frac12$</span>: <span class="math-container">\begin{align} \sum{n=26}^{52}(n-1)!(52-n)!\binom{26}{n-26}\cdot 13 =&{13\cdot 26!}\cdot 25!\cdot \sum{n=26}^{52}\binom{n-1}{25} \\stackrel{\text{H.S.}}=&13\cdot 26!\cdot 25!\cdot \binom{52}{26} \=&52!\cdot \frac12 \end {Alinee el}</span> en <span class="math-container">$\stackrel{\text{H.S.}}=$</span> usamos el palo de Hockey identty.

Answer 5

Como una alternativa a la simetría argumento, reducir el tamaño del problema. Utilice un mazo de 4 tarjetas sólo con los ases. (Insertar handwaving aquí por qué esto no cambia nada). Es fácil escribir el 4! casos y contar el número de veces en que el A♠ aparece antes de Un♢.

Pero ¿por qué detenerse ahí? Todos los corazones y los clubes no hacen ninguna diferencia. Con el fin de reducir la cubierta a dos cartas, dando lugar a la evidente probabilidad de 1/2.

Ahora, de vuelta a la handwaving: Con 13 cartas de cada palo, también puede eliminar todos los corazones y tréboles. Esto reduce el problema original a "¿cuál es la probabilidad de que la última tarjeta de diamantes?", que es, obviamente, 1/2.

Este es un maravilloso ejemplo de cómo podemos transformar una aparente gran problema para una tontería!