Derivación de Series de Fourier "Malo"

Question

Deje $f(\theta)$ $2\pi$-periódico tal que $f(\theta)=e^{\theta}$ para $-\pi<0<\pi$, e $$e^{\theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{in\theta}\,\,\, \mathrm{for}\,\, |\theta|<\pi $$ es la serie de Fourier. Si nos formalmente diferenciar esta ecuación, obtenemos

$$e^{\theta}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}inc_{n}e^{in\theta}. $$

Pero esto implica $c_{n}=inc_{n}$ o $(1-in)c_{n}=0$, por lo que, $c_{n}=0\,\forall n\in\mathbb{Z}$. Esto es obviamente erróneo.

¿Dónde está el error?

La única cosa que pude concurso es el derivado de la $f$. Sé un teorema diciendo que un suficiente condición es $f$ continua y suave a trozos, y $f$ no es continua. Pero esto no implica que yo no se puede derivar término a término.

Answer 1

Usted tiene que pensar en términos de distribución de derivados, ya que en este sentido se puede cambiar de la serie y derivados. Creo $f$ como se define en la 1-toro. A continuación, la distribución de derivados de $f$ no $f$ sí, sino $f-(e^\pi-e^{-\pi})\delta_{[\pi]}$, donde $\delta_{[\pi]}$ es la delta de Dirac en el punto de $[\pi]$ de la 1-toro. Así, en sentido distributivo: $$\sum_{n=-\infty}^\infty inc_ne_n = f'=f-(e^\pi-e^{-\pi})\delta_{[\pi]}=\sum_{n=-\infty}^\infty c_ne_n - (e^\pi-e^{-\pi})\delta_{[\pi]}$$ es decir: $$\sum_{n=-\infty}^\infty (in-1)c_ne_n=-(e^\pi-e^{-\pi})\delta_{[\pi]}=-(e^\pi-e^{-\pi})\sum_{n=-\infty}^\infty e^{in\pi}e_n \\ = -(e^\pi-e^{-\pi})\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{2\pi}e_n.$$ Entonces: $$\forall n\in \mathbb{Z}, (in-1)c_n=-\frac{(-1)^{n}}{2\pi}(e^\pi-e^{-\pi})$$ es decir: $$\forall n\in\mathbb{Z}, c_n=\frac{(-1)^{n}(e^\pi-e^{-\pi})}{2\pi(1-in)}.$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $c_n=\frac{\sinh(\pi)}{\pi}\frac{(-1)^n}{1-in}$ y la serie de Fourier para $e^\theta$ a $-\pi<\theta<\pi$ es

$$e^\theta =\frac{\sinh(\pi)}{\pi}\sum_{-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{1-in}\,e^{in\theta}$$

Claramente, la serie $\sum_{n=-\infty}^\infty inc_ne^{in\theta}=\frac{\sinh(\pi)}{\pi}\sum_{-\infty}^\infty \frac{(-1)^n\,in}{1-in}\,e^{in\theta}$, que se obtiene por diferenciación formal bajo la suma, es divergente. Por lo tanto, la diferenciación en virtud de la suma es ilegítimo y que no da lugar a una serie de Fourier de la representación de $e^\theta$ para $-\pi<\theta<\pi$.