¿La curva elíptica$y^2 = 4 x^3 -6075$ tiene puntos enteros?

Question

Deje $E$ ser la curva elíptica $y^2 = 4 x^3 -6075$. Me encontré con el siguiente Mathematica código, el cual busca ingenuamente por entero soluciones a $E$ pero no se encontró ningún soluciones de $(x, y) \in E(\mathbb{Z})$ satisfacción $0 \leq x \leq 10^6$.

T = Table[ z = 4 x^3 - 6075; 
      If[ IntegerQ[Sqrt[z]], 
         {x, Sqrt[z]}
      , 0]
  , {x, 0, 1000000}];
DeleteCases[T, 0] 

Es $E(\mathbb{Z})$ vacío? También, ¿cuál es la mejor base de datos de Mordell curvas de acceso? He tenido algunos problemas para instalar el Pari de la base de datos en el pasado.

Answer 1

No, $y^2=4x^3-6075$ no tiene ningún entero solución.

Una observación elemental: $3\nmid x$: porque $$3\mid x \implica 27\mid y^2 \implica 9\mid y \implica 9\mediados del x$$ but $y^2+6075$ has no solution in $\mathbb{Z}/3^6\mathbb{Z}$.

El anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ es un UFD. La ecuación puede ser escrita como $$\left( {\frac{{y + 45\sqrt { - 3} }}{2}} \right)\left( {\frac{{y - 45\sqrt { - 3} }}{2}} \right) = {x^3}$$ los elementos dentro de corchetes, que se denota por a$\alpha$ e $\beta$, son parte integral de más de $\mathbb{Z}$ desde $y$ es impar.

Yo reclamo que $\alpha,\beta$ son relativamente primos. Si un primer $\pi$ divide a ambos, a continuación, $\pi\mid 45\sqrt{-3}$, lo $\pi = \sqrt{-3}$ o $5$. Si $\pi = \sqrt{-3}$, a continuación, $3\mid x$, contradicción. Si $\pi = 5$, deje $v_5$ denotar valoración a $5$, normalizado, de modo que $v_5(5)=1$, tenga en cuenta que $v_5(\alpha) \in \mathbb{Z}$ como $v_5$ es unramified. $$0< v_5(\alpha)+v_5(\beta) = 2v_5(\alpha)= 3v_5(x) $$ esto dice $v_5(x)$ es aún, por lo tanto $5^6 \mid (y^2+6075)$, pero $y^2+6075=0$ no tiene solución en $\mathbb{Z}/5^6\mathbb{Z}$, descartando $\pi = 5$. La valoración puede ser salvado por señalar que $5^3 \mid (y^2+6075)$ ya es imposible, pero parece difícil deducir el más fuerte $5^6 \mid (y^2+6075)$ de la consideración en $\mathbb{Z}$ solo.

Desde $\alpha,\beta$ son relativamente primos, ambos son de cubo, dicen $$\frac{{y + 45\sqrt { - 3} }}{2} = {(\frac{{a + b\sqrt { - 3} }}{2})^3} \qquad \text{ or } \qquad \left( {\frac{{1 + \sqrt { - 3} }}{2}} \right){\left( {\frac{{a + b\sqrt { - 3} }}{2}} \right)^3}$$ con $a,b$ ambos pares o impares. El primer caso da $60= {a^2}b - {b^3}$, lo $b$ tiene sólo un par de valores posibles, comprobando que no da entero soluciones a la ecuación original. El segundo caso se da $$\frac{{45}}{2} = \frac{{{a^3} + 3{a^2}b - 9a{b^2} - 3{b^3}}}{{16}}$$ this says $v_3(a) \geq 1$, thus $v_3(a^3+3a^2b-9ab^2)\geq 3$ but $v_3(45/2) = 2$, so $v_3(3b^3) = 2$, absurdo.

Answer 2

Sagemath

Multiplicando por $2^4$, se obtiene $$ (2^2y)^2=(2^2)^3 - 97200 $$ Este es un Mordell curva con $n=-97200$, pero parece que sólo hay registros de $-10000 \leq n \leq 10000$. La curva de $$ Y^2 = X^3-97200 $$ de acuerdo a Sagemath tiene sólo una parte integral del punto de $$ (X,Y) = (49,143) $$ lo que si es correcta, a continuación, $(x,y) = (X/4,Y/4) = (49/4,143/4)$ no es integral y por tanto, no se entero de puntos.

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LMFDB

La curva ha conductor de $6075$ así que usted puede intentar encontrar a través de la LMFDB (La L-funciones y las Formas Modulares de la Base de datos), como se muestra en esta página. Se encuentra a $400000$ , pero que muestra sólo el modelo mínimo de la curva de modo que usted tiene que coincidir con los coeficientes.

Tomando modulo $2$, sabemos que $y$ es impar. Ahora vamos a $(x,y)=(X,2Y+1)$, luego $$ \begin{align} (2Y+1)^2 &= 4X^3- 6075\\ Y^2 + Y &= X^3 - 1519 \end{align} $$ de modo que los coeficientes son $$ [a_1,a_2,a_3,a_4,a_6] = [0, 0, 1, 0, -1519] $$ correspondiente a esta curva en LMFDB. Según él, del mismo modo que no hay integral de puntos.

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Magma

De otra manera, que yo sepa, es el uso de una línea de Magma calculadora

E := EllipticCurve([0, -97200]);
IntegralPoints(E);

que devuelve el mismo resultado que Sagemath [ <(49 : 143 : 1), 1> ]

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Ya que la curva tiene rango $1$, hay infinitamente muchos puntos racionales. Por lo tanto creo que el modulo $p$ métodos podrían no funcionar.

La Teoría Algebraica De Números

Quizá otra forma es resolver el problema por el campo de número de $K =\mathbb Q(\sqrt{-3})$. La reescritura, la ecuación se convierte en $$ X^3 = (Y+180\sqrt{-3})(Y-180\sqrt{-3}) $$ A continuación, utilizando el hecho de que $K$ tiene clase número $1$, por lo tanto factorización única en su anillo de enteros, podemos tratar de deducir la posible $X,Y$'s.

Edit 1 Parece que esto se ha hecho por @pisco.

Answer 3

Usando la teoría de los números elementales, toma ambos lados módulo 4 para que$y^2=1\pmod{4}$, luego$y=2m+1$. También tenemos$x=1\pmod3$ para$x=3n+1$. Expanda para obtener:$$4m^2+4m+1 = 4(27n^3+27n^2+9n+1)-6075$ $ Entonces$$4m^2+4m=81n^3+81n^2+36n-6072.$ $ Ahora tome modulo$9$ en ambos lados para tener$$4m(m+1) = 3 \pmod9.$ $ Esto implica que$m(m+1)=3\pmod9$. Entonces, escriba$m(m+1)=9a+3$ y necesitamos resolver$$ m^2+m-3-9a=0. $ $ De ello se deduce que$13+36a$ necesita ser el cuadrado de un número impar. Tal vez esto ayuda con su búsqueda numérica?