Deje $(M^{2n},J)$ ser una compleja $n$-colector y $u:\mathbb{CP}^1\to M$ un inmersos $J$-holomorphic curva. Entonces existe una corta secuencia exacta de vector de paquetes $$0\to T\mathbb{CP}^1\to u^{\ast}TM\to N_u\to 0$$ which defines the normal bundle $N_u$ of $u$. By Grothendieck's theorem, $$N_u=\bigoplus_{i=1}^{n-1}\mathcal{O}_{\mathbb{CP}^1}(a_i)$$ where $$\sum_{i=1}^{n-1}a_i=c_1(u^{\ast}TM)-2. \qquad \qquad\qquad (\star)$$
Pregunta: Supongamos $v:\mathbb{CP}^1\to M$ es otra de las $J$-holomorphic la curva, que es homotópica a $u$ y deje $b_1,\dots,b_{n-1}$ ser el definido por $$N_v=\bigoplus_{i=1}^{n-1}\mathcal{O}_{\mathbb{CP}^1}(b_i).$$ Is it true that $b_i=a_i$ for all $i=1,\dots,n-1$?
Comentarios: tenga en cuenta que la respuesta es "sí" en el caso de $n=2$, desde entonces sólo hay una incógnita $a_1$ e $(\star)$ da $a_1=c_1(u^{\ast}TM)-2$. Yo n no estoy seguro si esto es cierto en dimensiones superiores. Tal vez un contraejemplo puede ser construido cuando $\pi_2(M)=0$ y todas esas curvas son homotópica, por ejemplo, $M=\mathbb{C}^3$. La pregunta es, esencialmente, cómo la normal paquete puede cambiar dentro de un determinado homotopy clase.
