Resolver ecuación diferencial:$f'''(x)=f(x)f'(x)f''(x)$

Question

Me encontré con $f'''(x)=f(x)f'(x)f''(x)$ pero no sé cómo resolverlo.

Lo intenté

$\frac{f'''(x)}{f''(x)}=f(x)f'(x)$

$\ln|f''(x)|=\frac{1}{2}f(x)^2+c_{1}$

Pero a partir de ahí no tengo idea de cómo proceder.

Por favor, ayúdame a resolver esto si es posible.

Answer 1

Después de

$$ f" = C_0e^{\frac 12 f^2} $$

tenemos

$$ f" f' = C_0e^{\frac 12 f^2}f'\Rightarrow \frac 12(f')^2=C_0\sqrt{\frac{\pi}{2}}\phi\left(\frac{f}{\sqrt 2}\right)+C_1 $$

con

$$ \phi\left(x\right)=\int_0^x e^{\zeta^2}d\zeta $$

y finalmente llegamos a la solución después de la integración de

$$ \frac{df}{\sqrt{2\left(C_0\sqrt{\frac{\pi}{2}}\phi\left(\frac{f}{\sqrt 2}\right)+C_1\right)}} = dx $$