¿Intercambiar las columnas de una matriz hace que se intercambien las filas de la matriz inversa?

Question

Esta pregunta surgió mientras realizaba algunos cálculos sobre algunas matrices en un problema no relacionado con la informática.

Dejemos que $A$ sea una matriz invertible con columnas $A_1, \dots A_n$ . Sea $B$ sea su inversa, con filas $B_1, \dots, B_n$ . Ahora construye una nueva matriz $\hat{A}$ intercambiando dos columnas $A_i$ et $A_j$ . Sea $\hat{B}$ sea la inversa de $\hat{A}$ .

En mis cálculos específicos, he observado que $\hat{B}$ no era más que $B$ con las filas $B_i$ et $B_j$ intercambiado. ¿Siempre es así? Dudo que sea una coincidencia porque los números eran bastante aleatorios.

Nota: Estaba trabajando con números reales pero me interesaría saber si el campo hace alguna diferencia.

Answer 1

Sí, esto es siempre cierto. Tenga en cuenta que el intercambio de columnas $i$ et $j$ equivale a multiplicar en el lado derecho por la matriz elemental $T_{ij}$ que se define intercambiando filas $i$ et $j$ de la matriz de identidad. Puedes comprobar que esta matriz es la inversa de sí misma. Además, multiplicando por $T_{ij}$ en el lado izquierdo equivale a intercambiar las filas $i$ et $j$ .

Así que si llamamos a su matriz $A$ entonces $AT_{ij}$ es la matriz que se obtiene al intercambiar las columnas $i$ et $j$ . Entonces su inversa es $T_{ij}A^{-1}$ que es la matriz que se obtiene al intercambiar las filas $i$ et $j$ sur $A^{-1}$ .

Answer 2

Otra forma de pensarlo: sólo se está renumerando la base de uno de los espacios vectoriales: El espacio de dominio para $A$ que es el espacio de alcance para $A^{-1}$ .

Answer 3

Tu observación es acertada. Se pueden intercambiar las columnas de una matriz multiplicando por la derecha por un matriz de permutación $P$ que es la matriz identidad con las columnas correspondientes intercambiadas: $\hat A = AP$ . Entonces tenemos $$\hat A^{-1} = (AP)^{-1} = P^{-1}A^{-1}.$$ $P$ es su propia inversa, y multiplicando a la izquierda por $P$ intercambia el filas de $A^{-1}$ que se intercambian en $P$ .