Yo jugueteaba con polinomios y sus raíces reales cuando yo, como recreativas matemáticos que hacer, hice la siguiente pregunta aleatoria:
Supongamos que estoy dado un polinomio $P(x)$. ¿Cómo puedo encontrar el número de raíces reales del polinomio $P^{\circ n}(x)$, lo que representa el n-veces la composición de $P$ con sí mismo (contando multiplicidad)?
Empecé con el simple polinomio $P_1(x)=x^2-1$. Este fue un ejemplo fácil, puesto que $P_1^{\circ n}(x)$ ha $n+1$ raíces reales, que era fácil de demostrar.
Mi siguiente ejemplo fue el polinomio $P_2(x)=x^2-2$. Este era más difícil, pero finalmente he decidido que $P_2^{\circ n}(x)$ ha $2F_{n+1}-2$ raíces reales, donde $F_n$ representa la secuencia de números de Fibonacci con $F_0=F_1=1$.
En general, estoy pensando en polinomios de la forma $P_c(x)=x^2-c$. Para $c$ menos de $-1$, la recorre de este polinomio no tiene raíces reales, y para $c$ mayor que $3$, $n$th recorrer de este polinomio parece tener $2^n$ raíces reales.
El polinomio con el que estoy perplejo es $$P_{3/2}(x)=x^2-\frac{3}{2}$$ Mientras que yo he sido incapaz de derivar una fórmula para el número de raíces reales de $P_{3/2}^{\circ n}(x)$, observando el número de raíces reales para el primer par de iteraciones, he venido para arriba con la notable conjetura de que el número de raíces reales de la $n$th recorrer es dado por $2p(n)$, donde $p(n)$ representa el número de particiones de $n$.
Esta conjetura, si fuera cierto, sería realmente sorprendente. ¿Cómo puedo demostrarlo?
NOTA: Para demostrar las fórmulas conseguí para $P_1$ e $P_2$, la que divide la recta real en intervalos que los polinomios en cuestión envían el uno al otro, y a partir de esto he obtenido una fórmula recursiva para cada uno. Sin embargo, no puedo averiguar cómo casi se dividen $\mathbb R$ en intervalos de la misma manera.
