Demostrando que $\sqrt[3]{9+9\sqrt[3]{9+9\sqrt[3]{9+\cdots}}} - \sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+\cdots}}}}}} = 1$ ?

Question

$$\sqrt[3]{9+9\sqrt[3]{9+9\sqrt[3]{9+\cdots}}} - \sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+\cdots}}}}}} = 1$$ En el segundo radical anidado, el patrón de repetición es $(-,-,+)$ . Abordé este problema de una manera bastante aburrida. Es decir, la primera expresión satisface la ecuación, $$y=\sqrt[3]{9+9y} \implies y^3=9+9y$$ y la segunda satisface, $$x=+\sqrt{8-\sqrt{8-\sqrt{8+x}}} \implies \left[(x^2-8)^2-8\right]^2=8+x$$ Ahora esto se convierte mágicamente en $$(x^2 - x - 8) (x^3 - 2 x^2 - 11 x + 23) (x^3 + 3 x^2 - 6 x - 17) = 0$$ Resulta que el $x$ estamos buscando es la solución del tercer factor. Y así, $$x^3 + 3 x^2 - 6 x - 17=0 \implies (x+1)^3-9(x+1)-9=0$$ Y mágicamente $x+1=y$ . El problema aquí es que esto no me da mucha comprensión de los radicales anidados, es simplemente bash.

Q. En definitiva, mi pregunta es, si hay una manera de probar la diferencia es 1 sin (o un poco menos) golpear y una buena manera general de tratar con tales expresiones (como los ejemplos de abajo)?

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A continuación probé lo siguiente, suponiendo que queremos resolver $$t=\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7+\cdots}}}}}}$$ Lo que podemos intentar es lo siguiente, $$t=\oplus\sqrt{7\ominus\sqrt{7+t}}$$ Cuando cuadramos repetidamente, perdemos la información de los signos resaltados. Es decir, la ecuación $(t^2-7)^2=t+7$ tiene unas bonitas raíces correspondientes a, $$t=+\sqrt{7+\sqrt{7+t}}\qquad \text{and}\qquad t=-\sqrt{7-\sqrt{7+t}}$$ Pero estos pueden ser reducidos por su simetría, $$t=+\sqrt{7+t}\qquad \text{and}\qquad t=-\sqrt{7+t}$$ La solución a ambos satisface $t^2=t+7$ (que son las raíces que no queremos). Y así intuimos por qué esa enorme ecuación tiene un factor cuadrático. Ahora bien, en este caso, tras la división larga acabaremos con una ecuación cuadrática cuya solución (que queremos) es $2$ . Si utilizamos esto en nuestra pregunta original, obtenemos una ecuación de 6º grado sin más intuición.

También he visto esto en la Wikipedia sin ninguna explicación. Hay un error tipográfico en la imagen anterior.

Answer 1

Me llevó un tiempo. Las raíces de su $$ u^3 - 9u - 9 = 0 $$ son $$ -2 \sqrt 3 \sin {\frac{2\pi}{9}} \; , $$ $$ -2 \sqrt 3 \sin {\frac{8\pi}{9}} \; = \; -2 \sqrt 3 \sin {\frac{\pi}{9}} , $$ $$ -2 \sqrt 3 \sin {\frac{14\pi}{9}} \; = \; 2 \sqrt 3 \sin {\frac{4\pi}{9}} . $$

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? poldisc( s^3 - 9 * s - 9)
%51 = 729
? polgalois( s^3 - 9 * s - 9)
%59 = [3, 1, 1, "A3"]

? polroots( s^3 - 9 * s - 9)
%52 = [-2.226681596905677465811651808 ,
       -1.184792530904095372701352048 , 
        3.411474127809772838513003856 ]~

? u = -2 * sqrt(3) * sin (2 * Pi / 9  )
%53 = -2.226681596905677465811651808
? v = -2 * sqrt(3) * sin (8 * Pi / 9  )
%54 = -1.184792530904095372701352048
? w = -2 * sqrt(3) * sin (14 * Pi / 9  )
%55 = 3.411474127809772838513003856
? 
? u^3 - 9 * u - 9
%56 = 0.E-27
? v^3 - 9 * v - 9
%57 = 0.E-27
? w^3 - 9 * w - 9
%58 = -8.07793567 E-28
? 

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Answer 2

También ha preguntado por $$x =\sqrt{ 5+ \sqrt{ 5 + \sqrt{ 5-x}}}$$ He descubierto cómo expresar $x$ en los radicales.

Toma $$ k = \frac{1 + \sqrt {13}}{2} $$ para que $$ k^2 - k + 2 = 5 \; . $$

Entonces $x$ arriba es la raíz mayor del cúbico $$ x^3 + (k-1) x^2 - (k^2 + 2)x - (k^3 - k^2 + 2 k - 1) $$ que es lo mismo que $$ x^3 + (k-1) x^2 - (k+5)x - ( 5 k - 1) $$

? k = (1 + sqrt(13))/2
%5 = 2.302775637731994646559610634
?  h = x^3 + (k-1) * x^2 - (k^2 + 2) * x - (k^3 - k^2 + 2 * k - 1 )
%6 = x^3 + 1.302775637731994646559610634*x^2 
    - 7.302775637731994646559610634*x - 10.51387818865997323279805317
? polroots(h)
%7 = [-2.549662363373543544157989866 + 0.E-28*I,
      -1.500778167203563600102045353 + 0.E-28*I,
       2.747664892845112497700424585 + 0.E-28*I]~
? w = x^3 +(k-1) * x^2 - (k+5) * x - (5 * k - 1) 
%8 = x^3 + 1.302775637731994646559610634*x^2 - 7.302775637731994646559610634*x 
       - 10.51387818865997323279805317
? polroots(w)
%9 = [-2.549662363373543544157989866 + 0.E-28*I, 
      -1.500778167203563600102045353 + 0.E-28*I, 
       2.747664892845112497700424585 + 0.E-28*I]~
? 

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En general, con un número entero positivo $a \geq 2$ y real $k > 0$ tal que $$ k^2 - k + 2 = a, $$ para que $$ k = \frac{1 + \sqrt{4a-7}}{2} \; , $$ con $$x =\sqrt{ a+ \sqrt{ a + \sqrt{ a-x}}},$$ encontramos $x$ es la raíz más grande de $$ x^3 + (k-1) x^2 - (a+k)x - ( a k - 1) \; .$$ Podemos usar Cardano en este punto. La mala noticia es que las raíces cúbicas serán de números complejos, estamos en Casus Irreducibilis .