¿Existe una forma de escribir un conjunto infinito que contenga sólo números irracionales sin múltiplos enteros?

Question

¿Hay alguna forma de escribir un conjunto infinito que contenga sólo números irracionales sin múltiplos enteros?

El conjunto infinito no debe contener múltiplos enteros de ningún otro miembro de ese conjunto. Por ejemplo, $\pi$ es un miembro, pero no podemos tener $2\pi, 3\pi$ y así sucesivamente. Lo mismo ocurre con cualquier otro número irracional del conjunto.

Además, ese conjunto infinito debe ser equinumérico a $\mathbb{N}$ (números naturales). Esto me parece intuitivo, ya que hay muchas formas de alinear conjuntos infinitos con $\mathbb{N}$ . Pero tengo problemas para pensar en un conjunto infinito de este tipo con respecto a los irracionales solamente.

Gracias.

Answer 1

El conjunto de las raíces cuadradas de los números primos: $$\{\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5},\ldots,\sqrt{p},\ldots\}$$ es un ejemplo de dicho conjunto.

Supongamos que $\sqrt{a}=k\sqrt{b}$ para algún número entero $k$ . Entonces $a=k^2b$ por lo que obtenemos que $k=\sqrt{a/b}$ lo cual es imposible si ambos $a$ y $b$ son primos, ya que ese cociente nunca será un cuadrado perfecto (ni siquiera un número entero).

Answer 2

El conjunto $S = \{ n+\sqrt{2}: n \in \mathbb{N} \}$ también satisface la condición anterior.

Answer 3

Muchas opciones: además de las dos ya señaladas, hay $$ \{ \pi, \pi^2, \pi^3, \pi^4, \ldots \}, $$ $$ \{2^{1/2}, 2^{1/3}, 2^{1/4}, 2^{1/5}, \ldots \}, $$ e incluso $$ \{ 2\sqrt2, \, 3\sqrt2, \, 5\sqrt2, \, 7\sqrt2, \, 11\sqrt2, \, \ldots \} $$ (con multiplicadores primos), ya que no se han desestimado los múltiplos racionales.

Answer 4

Seleccione un irracional $\alpha_1$ . Seleccione cualquier $\alpha_2 \in \mathbb{R} \setminus (\mathbb{Q} \cup \mathbb{Z} \alpha_1)$ que se garantiza que no está vacía, ya que $\mathbb{R}$ es incontable. Inducir.

Answer 5

¿Qué hay de: todos los irracionales en $[2,3]$ ... Ninguno de ellos es un múltiplo entero de otro.

Uy, eso es incontable.

¿Qué tal todos los números en $[2,3]$ que son múltiplos racionales de $\sqrt{2}$ ? De nuevo, ninguno de ellos es un múltiplo entero de otro.