¿Por qué es $\mathbf{d}^{t} H \mathbf{d}$ la segunda derivada direccional?

Question

Dada una función $f: \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}$, ¿por qué $\mathbf{d}^{t} H \mathbf{d}$ dar el segundo derivado a $f$ a lo largo de la unidad vector $\mathbf{d}$? Aquí $H$ es el Hessian, que $H_{ij} = \frac{\partial f}{\partial x_i \partial x_j}$. Supongo que no tengo la definición correcta para trabajar con, por lo que cualquier intuición sería útil, así como la prueba formal. (por ejemplo, por qué esto funciona en el segundo orden expansión de la serie de taylor)

Answer 1

Considerar la función de las variables una por $g(t)=f(x+td)$. Desea calcular $g''(0)$. Así que hay que utilizar la regla de la cadena. Tienes $g'(t)=\sum_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(x+td)d_i$ y $g''(t)=\sum_i\sum_j\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x+td)d_i d_j$. Por lo tanto
$g''(0)=\sum_i\sum_j\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(x)d_i d_j= d^tH(x)d$.