El estándar de la construcción de la homotopy retroceso implica el total de la ruta del espacio de $C^I$ (es decir, el espacio de todo el continuo de los mapas de $I \to C$, con la topología adecuada). Más precisamente, si $f : A \to C$ $g : B \to C$ son dados de mapas, a continuación:
$$A \times^\mathrm{h}_C B = \{ (a, p, b) \in A \times C^I \times B : p(0) = f(a), p(1) = g(b) \}$$
La ruta de espacio $C^I$ es bastante difícil de visualizar, ya que generalmente es de infinitas dimensiones. Pero la idea debe ser lo suficientemente claro: un punto de $A \times^\mathrm{h}_C B$ es un punto en $A$, y un punto en $B$ junto con una ruta en $C$ la conexión de las imágenes de esos dos puntos.
Aviso de que hay un canónica mapa de $A \times_C B \to A \times^\mathrm{h}_C B$. Bajo buenas condiciones, esto es un homotopy de equivalencia. De hecho, si $g : B \to C$ es un Hurewicz fibration, entonces el homotopy extensión de elevación de la propiedad que nos da un mapa de $(A \times^\mathrm{h}_C B) \times I \to B$ ampliación de la canónica mapa de $(A \times^\mathrm{h}_C B) \times \{ 1 \} \to B$ y el levantamiento de la canónica mapa de $(A \times^\mathrm{h}_C B) \times I \to C$; la restricción de a $(A \times^\mathrm{h}_C B) \times \{ 0 \} \to B$ a continuación, obtener una conmutativa de la plaza
$$\begin{array}{ccc}
(A \times^\mathrm{h}_C B) & \rightarrow & B \\
\downarrow & & \downarrow \\
A & \rightarrow & C
\end{array}$$
y, por tanto, un mapa de $A \times^\mathrm{h}_C B \to A \times_C B$ que es la izquierda inversa a la canónica mapa de $A \times_C B \to A \times^\mathrm{h}_C B$; de hecho, este mapa $A \times^\mathrm{h}_C B \to A \times_C B$ es también un homotopy derecho inversa. Por lo tanto, cuando se $g : B \to C$ es un Hurewicz fibration, el homotopy pullback coincide con los períodos de retroceso (hasta homotopy de equivalencia).
