suma de factoriales dividiendo el factorial de la suma

Question

Los coeficientes de la fórmula multinomial son enteros donde el numerador es el factorial de una suma de enteros y el denominador es el producto de los factoriales de esos mismos enteros.

Supongamos que en lugar de tomar un producto de esos factoriales en el denominador tomamos la suma de esos factoriales. ¿Cuándo sería esa expresión un número entero?

Basándome en algunos cálculos, sospecho, pero no puedo demostrar en general, que si los enteros son consecutivos formando la suma, entonces existe un entero no negativo $m$ en función del número de enteros $k$ en la suma tal que si $n \ge m$ entonces la expresión es siempre un entero.

En otras palabras, existe $m$ en función de $k$ tal que para todo $n \ge m$ lo siguiente es siempre un número entero:

$$\frac{\left(\sum_{i=n}^{n+k-1}i\right)!}{\sum_{i=n}^{n+k-1}i!}$$

Para $k = 1, m = 0$ . Para $k = 2, m = 1$ . Basándome en algunos cálculos, conjeturo, pero no tengo pruebas, para $k = 3, m = 1$ y para $k = 4, m = 4$ .

¿A alguien le resulta familiar este tipo de problema? Tal vez alguien tenga una solución para ello o sugerencias sobre dónde podría ir para obtener más información.

Answer 1

En el $k=4$ caso, $$\frac{\left(\sum_{i=n}^{n+k-1}i\right)!}{\sum_{i=n}^{n+k-1}i!} = \frac{(4n+6)!}{n!(n+2)(n^2+5n+5)}.$$

Para muchos (probablemente infinitos) valores de $n$ , $n^2+5n+5$ es un primo mayor que $4n+6$ por lo que la expresión no es un número entero para esos $n$ .

(En el $k=3$ caso, obtenemos $$ \frac{(3n+3)!}{n!(n+2)^2} $$ y como $2(n+2)<3n+3$ esto se simplifica a un número entero para $n\ge1$ . Del mismo modo, con $k=2$ tenemos $$ \frac{(2n+1)!}{n!(n+2)} $$ que de nuevo se simplifica a un número entero para $n\ge1$ .)