reducción de $6xy + 8 y^2 -12x-26y + 11 = 0$ a la canónica de una curva de segundo orden

Question

Tengo este polinomio

$$ 6xy + 8 y^2 -12x-26y + 11 = 0 $$

y necesito reducirla a una ecuación canónica de una curva de segundo orden. La respuesta correcta del libro de texto es que es una hipérbola

$$ \frac{X^2}{1} - \frac{Y^2}{9} = 1 $$

y el sistema de coordenadas debe girar un ángulo igual a

$$ \arctan{3} $$

y el origen del nuevo sistema de coordenadas debe trasladarse al punto $O'(-1,2)$ . He comprobado esto en el programa Mathematica®, así que creo que es seguro asumir que no hay errores en el libro de texto.

Y ahora sobre el problema en sí. He calculado el ángulo de giro según la fórmula de mi libro de texto. Es (la expresión anterior es el ejemplo de un polinomio para explicar índices como $a,b,c$ etc.)

$$ ax^2 + 2bxy + cy^2 + 2dx + 2ey +g = 0 \\ \cot{2\alpha} = \frac{a-c}{2b} $$

He resuelto esta ecuación y he obtenido la respuesta correcta: $\alpha = \arctan{3}$

Entonces sustituí $x$ y $y$ variables con sus valores según las fórmulas:

$$ x = \cos{\alpha}x' - \sin{\alpha}y'\\ y = \sin{\alpha}x' + \cos{\alpha}y' $$

Permítanme mostrar esto de forma incremental por conveniencia

$$ 6xy + 8 y^2 =\\ 6(\cos{\alpha}x' - \sin{\alpha}y')(\sin{\alpha}x' + \cos{\alpha}y') + 8(\sin{\alpha}x' + \cos{\alpha}y')^2 =\\ 6(\sin{\alpha}\cos{\alpha} * x'^2 +\cos^2{\alpha} * x'y' -\sin^2{\alpha} * x'y' - \sin{\alpha}\cos{\alpha} * y'^2) + 8(\sin^2{\alpha} * x'^2 + 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} * x'y' + \cos^2{\alpha} * y'^2) =\\ 6\sin{\alpha}\cos{\alpha} * x'^2 + 8\sin^2{\alpha} * x'^2 - 6\sin{\alpha}\cos{\alpha} * y'^2 + 8\cos{\alpha}^2 * y'^2 + 6\cos{\alpha}^2 * x'y' -6\sin^2{\alpha} * x'y' + 16\sin{\alpha}\cos{\alpha} * x'y' = \\ (6\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 8\sin^2{\alpha})x'^2 + (- 6\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 8\cos^2{\alpha})y'^2 + (6\cos{\alpha}^2 -6\sin^2{\alpha} + 16\sin{\alpha}\cos{\alpha})x'y' $$

el factor en $x'y'$ evalúa a 0 dado $\alpha = \arctan{3}$ , lo he comprobado en Mathematica, así que de la parte anterior sólo queda esto:

$$ (6\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 8\sin^2{\alpha})x'^2 + (- 6\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 8\cos^2{\alpha})y'^2 $$

Y la parte restante es:

$$ -12x-26y + 11 = \\ -12(\cos{\alpha}*x' - \sin{\alpha}*y') - 26(\sin{\alpha}*x' + \cos{\alpha}*y') + 11 = \\ -12\cos{\alpha}*x' + 12\sin{\alpha}*y' -26\sin{\alpha}*x' - 26\cos{\alpha}*y' + 11 = \\ (-12\cos{\alpha} - 26\sin{\alpha})*x' + (12\sin{\alpha} - 26\cos{\alpha})*y' + 11 = \\ 2((-6\cos{\alpha} - 13\sin{\alpha}))*x' + 2(6\sin{\alpha} - 13\cos{\alpha})*y' + 11 $$

Así que ahora esta curva tiene la siguiente ecuación en el sistema de coordenadas rotado (permítanme usar $x$ y $y$ en lugar de $x'$ y $y'$ ):

$$ \alpha = \arctan{3}\\ a = 6\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 8\sin^2{\alpha} \\ c = - 6\sin{\alpha}\cos{\alpha} + 8\cos^2{\alpha} \\ d = -6\cos{\alpha} - 13\sin{\alpha} \\ e = 6\sin{\alpha} - 13\cos{\alpha}\\ g = 11\\ ax^2 + cy^2 + 2dx + 2ey + g = 0 $$

A continuación, se indica en mi libro de texto que se puede reducir aún más esta ecuación trasladando el origen de un sistema de coordenadas al punto $O(-\frac{d}{a}, -\frac{e}{c})$

Y este es el lugar donde no puedo obtener la respuesta correcta (que es $O(-1,2)$ ), causan este $-\frac{d}{a}$ me da 1,58114 en lugar de -1 y esto $-\frac{e}{c}$ da 1,58114 en lugar de 2.

Lo he comprobado en Mathematica.

¿Podría alguien explicarme en qué me equivoco, por favor?

Gracias de antemano.

Answer 1

Siempre trato de completar los cuadros: $$6xy+8y^2 −12x−26y+11=0$$ $$\left[ 8y^2+2.2 \sqrt{2}y\left(\frac{3x}{2\sqrt{2}}-\frac{13}{2\sqrt{2}}\right)\right]-12x+11=0 $$ $$\left[ 8y^2+2.2 \sqrt{2}y\left(\frac{3x}{2\sqrt{2}}-\frac{13}{2\sqrt{2}}\right)+\left(\frac{3x}{2\sqrt{2}}-\frac{13}{2\sqrt{2}}\right)^2\right]-\left(\frac{3x}{2\sqrt{2}}-\frac{13}{2\sqrt{2}}\right)^2-12x+11=0 $$ $$\left[2\sqrt{2}y + \frac{3x}{2\sqrt{2}}-\frac{13}{2\sqrt{2}} \right]^2-\frac{1}{8}(9x^2+18x+81)=0 $$ $$\left[2\sqrt{2}y + \frac{3x}{2\sqrt{2}}-\frac{13}{2\sqrt{2}} \right]^2-\frac{1}{8}(3x+3)^2=9 $$ $$\frac{1}{8}(8y+3x-13)^2-\frac{1}{8}(3x+3)^2=9 $$ $$(8y+3x-13)^2-(3x+3)^2=72$$ $$(8y+3x-13)^2-\frac{(x+1)^2}{9}=72$$ $$X^2-\frac{Y^2}{9}=72$$

Answer 2

Una pista:

Cuando $\tan \alpha = 3,\,$ entonces $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{10}},\,\sin \alpha=\frac{3}{\sqrt{10}}\Rightarrow$

$6xy + 8 y^2 -12x-26y + 11 = 0$

$x = x'\frac{1}{\sqrt{10}} - y'\frac{3}{\sqrt{10}}\\ y = x'\frac{3}{\sqrt{10}} + y'\frac{1}{\sqrt{10}}$

$\Rightarrow 9x'^2-y'^2-9\sqrt{10}x'+\sqrt{10}y'+11=0\Rightarrow \frac{(x'-\sqrt{5/2})^2}{1}-\frac{(y'-\sqrt{5/2})^2}{9}=1$

$\Rightarrow \frac{X^2}{1}-\frac{Y^2}{9}=1$

Answer 3

Por fin he encontrado dónde me equivocaba.

Estaba obteniendo resultados erróneos para esta expresión $O(-\frac{d}{a}, -\frac{e}{c})$ - $(1.58114, 1.58114)$ en lugar de $(-1,2)$ porque me estaba dando las coordenadas del centro de la hipérbola en el sistema de coordenadas ya rotado en lugar del original. Para obtener las coordenadas correctas del nuevo sistema en el sistema antiguo tengo que realizar una operación inversa, es decir, expresar $x,y$ del nuevo origen en el sistema original, es decir, realizar la rotación a un ángulo $-\alpha$ y cambiando al punto $O(\frac{d}{a}, \frac{e}{c})$ . En general, tengo que tomar el nuevo sistema como un "viejo".

Cuando hice esto, dado $$ \tan{\alpha} = 3 \\ \sin{-\alpha} = - \sin{\alpha} = - \frac{\tan{\alpha}}{\sqrt{1 + \tan^2{\alpha}}} = - \frac{3}{\sqrt{10}}, \\ \cos{-\alpha} = \cos{\alpha} = \frac{1}{\sqrt{1 + \tan^2{\alpha}}} = \frac{1}{\sqrt{10}}, \\ x'=0, \ y'=0, \ a = -\frac{d}{a} = \frac{10}{\sqrt{2}}, \ b = -\frac{e}{c} = \frac{10}{\sqrt{2}} $$

Tengo un sistema de ecuaciones lineales

$$ \begin{cases} x'=a + x \cos{-\alpha} - y \sin{-\alpha} \\ y'=b + x \sin{-\alpha} - y \cos{-\alpha} \\ \end{cases} \begin{cases} 0 = \frac{10}{\sqrt{2}} + x \frac{1}{\sqrt{10}} + y \frac{3}{\sqrt{10}} \\ 0=\frac{10}{\sqrt{2}} - x \frac{3}{\sqrt{10}} + y \frac{1}{\sqrt{10}} \\ \end{cases} \implies x=1, \ y = -2 $$

Es decir, las coordenadas del origen del sistema transformado en el sistema antiguo es $O(-1,2)$ , lo cual es correcto