$S^3=\{(z_1,z_2); z_1,z_2\in\mathbb{C},|z_1|^2+|z_2|^2=1\}$, Luego$S^3=S_1^3\cup S_2^3$, donde$S_1^3=\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2; |z_1|^2\leqslant \frac{1}{2}, |z_2|^2=1-|z_1|^2\}$ y$S_2^3=\{(z_1,z_2)\in\mathbb{C}^2; |z_1|^2\geqslant \frac{1}{2}, |z_2|^2=1-|z_1|^2\}$. $S_1^3$ y$S_2^3$ son homeomorfos a toros sólidos. $S^3/\mathbb{Z}_3=S_1^3/\mathbb{Z}_3\cup S_2^3/\mathbb{Z}_3$, (donde la acción en$S^3$ en$\mathbb{Z}_3$ es generada por$v\mapsto e^{2\pi i/3}v$). Cómo usar el teorema de Seifert-van Kampen para expresar$\mathbb{Z}_3=\pi_1(S^3/\mathbb{Z}_3)$ como un grupo cociente del producto libre del grupo fundamental de$S_1^3/\mathbb{Z}_3$ y$S_2^3/\mathbb{Z}_3$. ¿Es cierto que$\pi_1(S_1^3/\mathbb{Z}_3)=\mathbb{Z}$?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para responder a tu última pregunta, en primer lugar, sí, $\pi_1(S_1^3 / \mathbb Z_3) \approx \mathbb Z$. Uno simplemente deformación se retrae $S_1^3 / \mathbb Z_3$ a el círculo central de $\{(z_1,z_2)\in \mathbb C^2 ; \, z_2 = 0, |z_1|^2 = 1\}/ \mathbb Z_3 $ el uso de la deformación inducida por la que se deforme $S_1^3$ a $\{(z_1,z_2)\in \mathbb C^2 ; \, z_2 = 0, |z_1|^2 = 1\}$. Esto es similar a la de la banda de Moebius cuyo límite vientos dos veces alrededor del círculo central. La verdadera piedra de tropiezo para el cómputo de los $\pi_1(S^3 / \mathbb Z_3)$, usando el Teorema de Van Kampen es calcular el grupo fundamental de la $(S_1^3 \cap S_2^3)/ \mathbb Z_3$, el límite de toro. Por esta razón creo que es mejor la relación de cubrir el espacio $p:S^3 \rightarrow S^3/ \mathbb Z_3$ y utilizar el teorema de Hatcher Topología Algebraica:
Para una acción $G$ en un camino, conectada localmente trayectoria-conectado espacio de $X$ la satisfacción de la propiedad para cada una de las $x \in X$ hay un barrio $V$ $x$ de manera tal que todas las imágenes $g(V)$ variación $g \in G$ son disjuntos, entonces $G \approx \pi_1(X/G)/p_*(\pi_1(X))$ donde $p_*$ es la inducida por la homomorphism del cociente mapa de $p: X \rightarrow X/G.$
Debe quedar claro que la acción $\mathbb Z_3$ $S^3$ cumple esta condición(elija $V = B(x,\varepsilon)$ $\varepsilon$ pequeño). Además, como $S^3$ es el camino, conectada localmente trayectoria-conectado podemos aplicar el teorema. Por lo tanto $\mathbb Z_3 \approx \pi_1(S^3 / \mathbb Z_3)/ p_*(\pi_1(S^3))$. Y como $S^3$ es de $p_*(\pi_1(S^3)) \approx 0$, y de ello se desprende $ \pi_1(S^3 / \mathbb Z_3) \approx \mathbb Z_3$.
EDITAR(Más abordar directamente la cuestión):
Teniendo en cuenta la acción de la $\mathbb Z_3$ sobre el límite de toro, $\mathbb T$, tenemos el mapa de $\gamma \mapsto \gamma^{-2}$ (similar a la antipodal mapa de $x \mapsto -x$ la acción de $\mathbb Z_2$). Vamos a estudiar esta acción de $\mathbb Z_3$ sobre el toro y el aviso de que no tiene puntos fijos para el mapa de $p: \mathbb T \rightarrow \mathbb T/ \mathbb Z_3$ es una cubierta de espacio, y $\mathbb T/ \mathbb Z_3$ debe tener un grupo fundamental de la con $\mathbb Z \times \mathbb Z$ como índice $3$ subgrupo. Por lo tanto $\mathbb T/ \mathbb Z_3$ es el toro con un movimiento giratorio alrededor de ambos $S_1^3,S_2^3$, donde un generador del toro se envuelve alrededor de un círculo, mientras que dos veces alrededor de la otra. Así que para la inclusión de mapas de $i_1:\mathbb T/ \mathbb Z_3 \rightarrow \langle \alpha \rangle \approx S_1^3/ \mathbb Z_3, \,i_2:\mathbb T/ \mathbb Z_3 \rightarrow \langle \beta \rangle \approx S_2^3/ \mathbb Z_3 $ y para los generadores $a, b$ $\pi_1(\mathbb T/ \mathbb Z_3)$ tenemos $N$ generado por $$i_1(a)i_2(a)^{-1}= \alpha \beta^{2}\\ i_1(b)i_2(b)^{-1}=\alpha^{-2}\beta^{-1}\\ i_1(ab)i_2(ab)^{-1}=\alpha^{-1}\beta$$ Por lo tanto llegamos a la conclusión de $\pi_1(S^3/ \mathbb Z_3) \approx \mathbb Z * \mathbb Z/N$ y simplificando: $$\begin{split}\mathbb Z * \mathbb Z/N & = \langle \alpha,\beta \rangle / \langle \alpha \beta^{2},\alpha^{-2}\beta^{-1},\alpha^{-1}\beta \rangle\\ & = \langle \alpha \rangle / \langle \alpha^3 \rangle\\ & = \mathbb Z_3\end{split}$$
